PUC-PR Verão Demais Cursos 2015
Um recipiente tem a forma de um paralelepípedo retângulo reto, de base quadrada, com as seguintes medidas: 1 m x 1 m x 2 m (internas). Esse recipiente contém um produto na forma líquida e está ocupado em 60% de sua capacidade. Outro produto será adicionado a esse recipiente, também na forma líquida, acondicionado em cilindros (cilindro reto) com 20 cm de diâmetro na base e x cm de altura (medidas internas do cilindro). Se forem adicionadas 40 unidades do novo produto e o volume desta mistura dentro do paralelepípedo atingir a altura de 1,828 m da base, então, a altura do cilindro (x) será:
Use π =3,14.
1 m.
0,6 m.
0,314 m.
0,628 m.
0,5 m.
Resolução
Dados
- Paralelepípedo reto-retângulo (base quadrada): 1 m × 1 m × 2 m.
Capacidade total: \(V_{\text{paral}} = 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2\ \text{m}^3\). - Volume já ocupado: 60 % de 2 m³ → \(0{,}60 \times 2 = 1{,}2\ \text{m}^3\).
- Cilindro reto: diâmetro 20 cm = 0,20 m → raio \(r = 0,10\ \text{m}\). Altura = \(x\) (m).
- Número de cilindros: 40.
- Altura final do líquido no paralelepípedo: 1,828 m.
Como a base tem 1 m², isso corresponde a volume \(V_{\text{final}} = 1,828\ \text{m}^3\).
1. Volume total depois da adição
\[V_{\text{inicial}} + V_{\text{cilindros}} = V_{\text{final}}\]
\[1{,}2 + 40\,(\pi r^{2}x) = 1{,}828\]
2. Volume de um cilindro
\[V_{\text{cil}} = \pi r^{2}x = \pi\,(0,10)^2\,x = \pi\,(0,01)\,x = 0,01\pi x\ \text{m}^3\]
3. Volume dos 40 cilindros
\[V_{40} = 40\,(0,01\pi x) = 0,4\pi x\]
4. Igualando os volumes
\[1,2 + 0,4\pi x = 1,828\]
\[0,4\pi x = 1,828 - 1,2 = 0,628\]
5. Substituindo \(\pi = 3,14\)
\[0,4\times 3,14 = 1,256\]
\[1,256\,x = 0,628\]
\[x = \frac{0,628}{1,256} = 0,5\ \text{m}\]
Altura do cilindro: 0,5 m.
Alternativa correta: E.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Volume de paralelepípedo reto-retângulo: \(V = A_{\text{base}} \times h\).
- Volume de cilindro reto: \(V = \pi r^{2} h\).
- Conversão de unidades: 20 cm = 0,20 m.
- Princípio da adição de volumes: o volume final é a soma dos volumes individuais quando todos os líquidos se misturam sem reação ou perda.
- Base quadrada de lado 1 m → área da base = 1 m², logo a altura do líquido equivale numericamente ao seu volume em m³.
