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Unioeste 2012
Um quintal tem a forma de um retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à sua área em metros quadrados. Neste caso, quanto mede o maior lado do quintal?
a
3 m.
b
4 m.
c
8 m.
d
6 m.
e
18 m.
Ver resposta
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Resposta
C
Resolução
\(\textbf{1. Definição das variáveis}\)
Seja \(x\) a medida do lado menor (em metros).
Então, o lado maior vale \(3x\).
\(\textbf{2. Expressões de perímetro e área}\)
• Perímetro de um retângulo: \(P = 2(\text{base} + \text{altura})\).
Aqui: \(P = 2(x + 3x) = 2(4x) = 8x\).
• Área de um retângulo: \(A = \text{base} \times \text{altura}\).
Aqui: \(A = x \cdot 3x = 3x^2\).
\(\textbf{3. Condição dada}\)
O problema informa que o perímetro (em m) é igual à área (em m²):
\[8x = 3x^2\]
\(\textbf{4. Resolução da equação}\)
\[3x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(3x - 8) = 0\]
Como \(x \neq 0\) (lado não pode ser nulo), temos:
\[3x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\;\text{m}\]\(
\(\textbf{5. Maior lado}\)
Maior lado = \(3x = 3 \times \frac{8}{3} = 8\;\text{m}\).
\(\boxed{\text{O maior lado mede 8 m}}\)
Seja \(x\) a medida do lado menor (em metros).
Então, o lado maior vale \(3x\).
\(\textbf{2. Expressões de perímetro e área}\)
• Perímetro de um retângulo: \(P = 2(\text{base} + \text{altura})\).
Aqui: \(P = 2(x + 3x) = 2(4x) = 8x\).
• Área de um retângulo: \(A = \text{base} \times \text{altura}\).
Aqui: \(A = x \cdot 3x = 3x^2\).
\(\textbf{3. Condição dada}\)
O problema informa que o perímetro (em m) é igual à área (em m²):
\[8x = 3x^2\]
\(\textbf{4. Resolução da equação}\)
\[3x^2 - 8x = 0 \Rightarrow x(3x - 8) = 0\]
Como \(x \neq 0\) (lado não pode ser nulo), temos:
\[3x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{3}\;\text{m}\]\(
\(\textbf{5. Maior lado}\)
Maior lado = \(3x = 3 \times \frac{8}{3} = 8\;\text{m}\).
\(\boxed{\text{O maior lado mede 8 m}}\)
Dicas
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Represente o lado menor por \(x\) e escreva o maior como \(3x\).
Monte as fórmulas de perímetro e área em função de \(x\).
Iguale perímetro e área, resolva a equação e lembre-se de pedir o lado maior.
Erros Comuns
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Confundir o lado menor com o maior ao marcar a resposta.
Esquecer de duplicar a soma dos lados ao calcular o perímetro.
Resolver \(3x^2-8x=0\) e escolher \(x=8/3\) como resposta (longo do maior lado).
Revisão
- Retângulo: quatro ângulos retos; lados opostos paralelos.
- Perímetro: soma dos quatro lados. Para retângulo, \(P = 2(a+b)\).
- Área: produto dos lados adjacentes, \(A = a\times b\).
- Modelagem algébrica: transformar o enunciado em equação e resolvê-la.
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