Prefeitura de Roseira 2022
Um quadrilátero ABCD, foi desenhado no plano cartesiano e seus vértices são dados pelas coordenadas: A= (0, 1), B = (3, 1), C = (5, 3) e D = (2, 3). A área desse quadrilátero, em unidades de área, é igual a:
5 ua.
6 ua.
7 ua.
8 ua.
Resolução
Para achar a área de um polígono no plano cartesiano podemos aplicar a fórmula do polígono (ou regra do shoelace), que exige apenas as coordenadas dos vértices, listadas em ordem.
Vértices, na ordem ABCD:
- A \((0,1)\)
- B \((3,1)\)
- C \((5,3)\)
- D \((2,3)\)
Montemos as somas:
\[\begin{aligned} S_1 &= x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1\\ &= 0\cdot1 + 3\cdot3 + 5\cdot3 + 2\cdot1\\ &= 0 + 9 + 15 + 2 = 26\\[4pt] S_2 &= y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1\\ &= 1\cdot3 + 1\cdot5 + 3\cdot2 + 3\cdot0\\ &= 3 + 5 + 6 + 0 = 14 \end{aligned}\]
A área é
\[ A = \frac{|S_1 - S_2|}{2} = \frac{|26 - 14|}{2} = \frac{12}{2} = 6\,\text{ua}. \]
Portanto, a alternativa correta é B) 6 ua.
Dicas
Erros Comuns
Fórmula do Polígono (Shoelace)
Dado um polígono convexo ou não-convexo com vértices \((x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)\) em ordem, sua área é
\[ A = \frac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} x_i y_{i+1} - \sum_{i=1}^{n} y_i x_{i+1}\right|, \qquad (x_{n+1},y_{n+1})=(x_1,y_1). \]
Também é possível dividir o polígono em triângulos ou trapézios, mas a regra do shoelace costuma ser mais direta.
