ENEM 2018 segunda aplicação

Passo a Passo da Solução:

1. Interpretação do Problema e Definição do Sistema de Coordenadas:

   O problema descreve a trajetória parabólica de um projétil. É dado um sistema de coordenadas xy, onde y é a altura e x é a distância horizontal. O projétil atinge o solo em (0, 0) e é lançado pelo canhão em (150, 0). A distância total percorrida no solo é 150 metros. A altura máxima atingida é 25 metros.

2. Identificação dos Pontos Chave da Parábola:

   • Raízes (onde a parábola cruza o eixo x, ou seja, y=0): Os pontos onde o projétil está no solo são as raízes da função quadrática. Esses pontos são (0, 0) e (150, 0).
   • Vértice (ponto de altura máxima): A altura máxima é 25 m. A coordenada x do vértice (\(x_v\)) de uma parábola está exatamente no meio do caminho entre as raízes.
     \(x_v = \frac{0 + 150}{2} = 75\) metros.
     A coordenada y do vértice (\(y_v\)) é a altura máxima dada, que é 25 metros.
     Portanto, o vértice da parábola é V = (75, 25).

3. Escolha da Forma da Equação da Parábola:

   Podemos usar a forma fatorada ou a forma do vértice para encontrar a equação.

   • Usando a forma fatorada: A forma fatorada de uma parábola com raízes \(x_1\) e \(x_2\) é \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\).
     Com raízes 0 e 150, temos: \(y = a(x - 0)(x - 150) = ax(x - 150)\).

   • Usando a forma do vértice: A forma do vértice de uma parábola é \(y = a(x - x_v)^2 + y_v\).
     Com vértice (75, 25), temos: \(y = a(x - 75)^2 + 25\).

4. Determinação do Coeficiente 'a':

   Vamos usar a forma do vértice e um dos pontos conhecidos (por exemplo, a raiz (0, 0)) para encontrar o valor de 'a'.

   Substituindo (0, 0) na equação \(y = a(x - 75)^2 + 25\):
   \(0 = a(0 - 75)^2 + 25\)
   \(0 = a(-75)^2 + 25\)
   \(0 = a(5625) + 25\)
   \(-25 = 5625a\)
   \(a = \frac{-25}{5625}\)
   Simplificando a fração (dividindo numerador e denominador por 25):
   \(a = \frac{-1}{225}\)

5. Escrita da Equação da Parábola:

   Agora, substituímos o valor de 'a' de volta na forma do vértice (ou na forma fatorada):

   Usando a forma do vértice:
   \(y = -\frac{1}{225}(x - 75)^2 + 25\)

   Expandindo a equação para comparar com as opções:

   \(y = -\frac{1}{225}(x^2 - 2 \cdot x \cdot 75 + 75^2) + 25\)
   \(y = -\frac{1}{225}(x^2 - 150x + 5625) + 25\)
   \(y = -\frac{1}{225}x^2 + \frac{150}{225}x - \frac{5625}{225} + 25\)
   Simplificando as frações:
   \(\frac{150}{225} = \frac{2 \cdot 75}{3 \cdot 75} = \frac{2}{3}\)
   \(\frac{5625}{225} = 25\)
   Então:
   \(y = -\frac{1}{225}x^2 + \frac{2}{3}x - 25 + 25\)
   \(y = -\frac{1}{225}x^2 + \frac{2}{3}x\)

6. Ajuste da Equação ao Formato das Alternativas:

   As alternativas não estão na forma \(y = ax^2 + bx + c\). Vamos manipular nossa equação para encontrar a correspondente.

   \(y = -\frac{1}{225}x^2 + \frac{2}{3}x\)

   Multiplicando toda a equação por 225 para eliminar os denominadores:

   \(225y = 225 \left( -\frac{1}{225}x^2 \right) + 225 \left( \frac{2}{3}x \right)\)
   \(225y = -1x^2 + (75 \cdot 3) \left( \frac{2}{3}x \right)\)
   \(225y = -x^2 + 75 \cdot 2x\)
   \(225y = -x^2 + 150x\)
   Rearranjando os termos do lado direito:
   \(225y = 150x - x^2\)

7. Conclusão:

   A equação encontrada, \(225y = 150x - x^2\), corresponde à alternativa E.