UNITAU Verão Medicina 1ª Fase 2018
Um projétil, cujas dimensões são desprezíveis, é lançado com uma velocidade de módulo v0 de uma altura y0, medida em relação ao solo. A velocidade de lançamento do objeto é paralela à superfície horizontal, considerada como plana. Após o lançamento, o objeto se move sob a ação da força peso, e descreve uma trajetória parabólica, até atingir o solo. Se a energia mecânica do objeto fosse conservada ao longo do movimento, o módulo da velocidade do objeto imediatamente antes de atingir o solo seria dado por vf = (v02 + 2gy0)1/2, onde g é a aceleração local da gravidade.
Sabendo que 20% da energia mecânica é dissipada ao longo do movimento, é CORRETO afirmar que o módulo da velocidade do objeto, imediatamente antes de atingir o solo, seria
vf = 0,8(v02 + 2gy0)1/2
vf = 0,2(v02 + 2gy0)1/2
vf = (v02 + 0,8gy0)1/2
vf = [0,8(v02 + 2gy0)]1/2
vf = [1,2(v02 + 2gy0)]1/2
Resolução
Se não houvesse dissipação, a conservação da energia mecânica garantiria
\[\frac{1}{2}m v_0^2 + m g y_0 = \frac{1}{2} m v_f^2\]
donde \(v_f = \sqrt{v_0^2 + 2 g y_0}\).
1. Energia mecânica inicial
\[E_i = \frac{1}{2} m v_0^2 + m g y_0 = \frac{1}{2} m \bigl(v_0^2 + 2 g y_0\bigr).\]
2. Perda de 20 %
Ao longo da trajetória, 20 % dessa energia é transformada em outras formas (calor, som, etc.). Assim, resta apenas 80 % (0,8) da energia mecânica:
\[E_f = 0{,}8 \, E_i\]
3. Energia final é toda cinética
Pouco antes de tocar o solo, a altura é nula (\(y = 0\)), logo toda a energia restante converte-se em energia cinética:
\[E_f = \frac{1}{2} m v_f^2\]
4. Igualando e isolando \(v_f\)
\[\frac{1}{2} m v_f^2 = 0{,}8 \left(\frac{1}{2} m \bigl(v_0^2 + 2 g y_0\bigr)\right)\]
Cancelando \(\frac{1}{2} m\):
\[v_f^2 = 0{,}8 \bigl(v_0^2 + 2 g y_0\bigr)\]
\[\boxed{\;v_f = \sqrt{0{,}8\,\bigl(v_0^2 + 2 g y_0\bigr)}\;}\]
Esta expressão coincide com a alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
- Energia cinética: \(E_c = \tfrac{1}{2} m v^2\).
- Energia potencial gravitacional: \(E_p = m g h\).
- Energia mecânica: soma de \(E_c\) e \(E_p\).
- Conservação da energia mecânica: na ausência de forças dissipativas, a energia mecânica total mantém-se constante.
- Dissipação: porcentagem da energia inicial transformada em outras formas não recuperáveis (calor, som, etc.).
