UNESP 2013/2
Resolução
O problema pede para calcular a distância em linha reta entre Guaratinguetá (G) e Sorocaba (S). Vamos usar as informações fornecidas e a imagem para resolver a questão.
Sejam SP (São Paulo), C (Campinas), G (Guaratinguetá) e S (Sorocaba) os pontos que representam as cidades.
Informações dadas:
- Distância SP-C = 80 km
- Distância SP-G = 160 km
- O triângulo SP-C-S é equilátero. Isso significa que todos os seus lados são iguais: SP-C = SP-S = C-S = 80 km. Além disso, todos os seus ângulos internos são 60°. Portanto, o ângulo C-SP-S = 60°.
- O triângulo SP-G-C é retângulo em SP. Isso significa que o ângulo G-SP-C = 90°.
Queremos encontrar a distância G-S. Para isso, vamos considerar o triângulo G-SP-S.
Conhecemos dois lados desse triângulo:
- SP-G = 160 km
- SP-S = 80 km (pois o triângulo SP-C-S é equilátero)
Precisamos encontrar o ângulo entre esses dois lados, que é o ângulo G-SP-S.
Observando a disposição dos pontos (ou a imagem), o ângulo G-SP-S é a soma dos ângulos G-SP-C e C-SP-S:
Ângulo G-SP-S = Ângulo G-SP-C + Ângulo C-SP-S
Ângulo G-SP-S = 90° + 60° = 150°
Agora, podemos usar a Lei dos Cossenos no triângulo G-SP-S para encontrar o lado G-S.
A Lei dos Cossenos afirma que, em um triângulo com lados \(a\), \(b\), \(c\), e ângulo \(\gamma\) oposto ao lado \(c\), temos:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)\]
No nosso triângulo G-SP-S, temos:
- Lado \(a\) = SP-G = 160 km
- Lado \(b\) = SP-S = 80 km
- Ângulo \(\gamma\) = Ângulo G-SP-S = 150°
- Lado \(c\) = G-S (a distância que queremos encontrar)
Aplicando a Lei dos Cossenos:
\[(G-S)^2 = (SP-G)^2 + (SP-S)^2 - 2 \cdot (SP-G) \cdot (SP-S) \cdot \cos(150°)\]
Precisamos calcular \(\cos(150°)\). Sabemos que \(\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Substituindo os valores:
\[(G-S)^2 = (160)^2 + (80)^2 - 2 \cdot (160) \cdot (80) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]
Calculando os termos:
\[(G-S)^2 = 25600 + 6400 + 2 \cdot 160 \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[(G-S)^2 = 32000 + 160 \cdot 80 \cdot \sqrt{3}\]
\[(G-S)^2 = 32000 + 12800 \sqrt{3}\]
Podemos fatorar \(80^2 = 6400\) para simplificar e comparar com as opções:
\[(G-S)^2 = 160^2 + 80^2 + 2 \cdot (2 \cdot 80) \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[(G-S)^2 = (2 \cdot 80)^2 + 80^2 + 2 \cdot 80^2 \cdot \sqrt{3}\]
\[(G-S)^2 = 4 \cdot 80^2 + 1 \cdot 80^2 + 2 \cdot 80^2 \cdot \sqrt{3}\]
\[(G-S)^2 = 80^2 (4 + 1 + 2\sqrt{3})\]
\[(G-S)^2 = 80^2 (5 + 2\sqrt{3})\]
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
\[G-S = \sqrt{80^2 (5 + 2\sqrt{3})}\]
\[G-S = 80 \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}\]
Portanto, a distância em linha reta entre Guaratinguetá e Sorocaba é \(80 \sqrt{5 + 2\sqrt{3}}\) km.
Alternativa B é a correta.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos:
- Triângulo Equilátero: Um triângulo com todos os três lados de igual comprimento e todos os três ângulos internos iguais a 60°.
- Triângulo Retângulo: Um triângulo que possui um ângulo interno de 90° (ângulo reto). O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa, e os outros dois lados são chamados de catetos.
- Ângulos Adjacentes: Ângulos que compartilham um vértice e um lado comum, mas não se sobrepõem. A soma de ângulos adjacentes que formam um ângulo maior pode ser usada para encontrar a medida do ângulo maior.
- Lei dos Cossenos: Uma generalização do Teorema de Pitágoras que relaciona os comprimentos dos lados de um triângulo qualquer ao cosseno de um de seus ângulos. Para um triângulo com lados \(a, b, c\) e ângulo \(\gamma\) oposto ao lado \(c\), a lei é dada por \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)\). É essencial para resolver triângulos quando se conhece dois lados e o ângulo entre eles (caso LAL) ou os três lados (caso LLL).
- Valores Trigonométricos: Conhecimento de valores de funções trigonométricas para ângulos notáveis e seus relacionados (e.g., \(\cos(150°) = -\cos(30°) = -\sqrt{3}/2\)).
