ENEM 2012 segunda aplicação
Um professor, ao fazer uma atividade de origami (dobraduras) com seus alunos, pede para que estes dobrem um pedaço de papel em forma triangular, como na figura a seguir, de modo que M e N sejam pontos médios respectivamente de AB e AC, e D, ponto do lado BC, indica a nova posição do vértice A do triângulo ABC.
Se ABC é um triângulo qualquer, após a construção, são exemplos de triângulos isósceles os triângulos
CMA e CMB.
CAD e ADB.
NAM e NDM.
CND e DMB.
CND e NDM.
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos analisar as propriedades geométricas que surgem da dobradura descrita.
1. Informações dadas:
- Triângulo ABC.
- M é o ponto médio do lado AB. Isso significa que \(AM = MB\).
- N é o ponto médio do lado AC. Isso significa que \(AN = NC\).
- O triângulo é dobrado ao longo do segmento MN, de forma que o vértice A coincide com o ponto D no lado BC.
2. Propriedades da Dobradura:
A dobradura ao longo do segmento MN significa que MN é a mediatriz do segmento AD. Isso implica duas coisas importantes:
- Qualquer ponto na linha de dobra (segmento MN) é equidistante dos pontos A e D.
- Portanto, como N está em MN, temos \(NA = ND\).
- Como M está em MN, temos \(MA = MD\).
3. Análise dos Triângulos para Isosceles:
Um triângulo isósceles é aquele que possui pelo menos dois lados de mesma medida. Vamos usar as igualdades que encontramos para verificar quais triângulos são isósceles:
- Triângulo CND: Precisamos verificar se possui dois lados iguais. Sabemos que N é o ponto médio de AC, então \(NC = NA\). Pela propriedade da dobradura, sabemos que \(NA = ND\). Combinando as duas igualdades, temos \(NC = NA = ND\). Portanto, \(NC = ND\). Como o triângulo CND tem dois lados iguais (NC e ND), ele é isósceles.
- Triângulo DMB: Precisamos verificar se possui dois lados iguais. Sabemos que M é o ponto médio de AB, então \(MB = MA\). Pela propriedade da dobradura, sabemos que \(MA = MD\). Combinando as duas igualdades, temos \(MB = MA = MD\). Portanto, \(MB = MD\). Como o triângulo DMB tem dois lados iguais (MB e MD), ele é isósceles.
4. Conclusão:
Os triângulos CND e DMB são ambos isósceles, pois \(NC = ND\) e \(MB = MD\), respectivamente. Portanto, a alternativa que lista esses dois triângulos como exemplos de triângulos isósceles é a correta.
Verificando as opções:
- A: CMA e CMB. Não são necessariamente isósceles.
- B: CAD e ADB. Não são necessariamente isósceles.
- C: NAM e NDM. São congruentes (NA=ND, MA=MD, MN=MN), mas não necessariamente isósceles (NA não é necessariamente igual a MA).
- D: CND e DMB. Ambos são isósceles, como demonstrado.
- E: CND e NDM. CND é isósceles, mas NDM não é necessariamente isósceles.
A resposta correta é a D.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é importante revisar os seguintes conceitos de geometria plana:
- Ponto Médio: Ponto que divide um segmento de reta em duas partes de igual comprimento. Se N é ponto médio de AC, então \(AN = NC\). Se M é ponto médio de AB, então \(AM = MB\).
- Triângulo Isósceles: Um triângulo que possui pelo menos dois lados com a mesma medida. Consequentemente, os ângulos opostos a esses lados também são iguais.
- Dobradura (Reflexão): Dobrar um papel ao longo de uma linha (eixo de reflexão) faz com que um ponto (A) seja mapeado para outro ponto (D). A linha de dobra (MN) atua como a mediatriz do segmento que une o ponto original e sua imagem (AD). Isso significa que todo ponto na linha de dobra é equidistante do ponto original e de sua imagem. No caso, \(NA = ND\) e \(MA = MD\).
