ENEM 2009

Passo a Passo da Solução

1. Entender as variáveis:

   • \(x\) é o desconto em centavos por litro.
   • \(V\) é o valor total arrecadado (receita) em R\$ por dia.

2. Determinar o preço por litro em função de \(x\):

   • O preço base é R\$ 1,50 por litro.
   • O desconto é de \(x\) centavos. Para usar na fórmula com o preço em R\$, precisamos converter o desconto para R\$. Como 1 R\$ = 100 centavos, \(x\) centavos equivalem a \( \frac{x}{100} \) R\$.
   • O novo preço por litro (P) é o preço base menos o desconto: \( P = 1,50 - \frac{x}{100} \) R\$.

3. Determinar a quantidade de litros vendidos em função de \(x\):

   • A quantidade base vendida é 10.000 litros.
   • Para cada centavo de desconto (ou seja, para cada unidade de \(x\)), são vendidos 100 litros a mais.
   • O aumento na quantidade vendida é de \( 100x \) litros.
   • A nova quantidade vendida (Q) é a quantidade base mais o aumento: \( Q = 10.000 + 100x \) litros.

4. Calcular o valor total arrecadado (V):

   • O valor total arrecadado (Receita) é o produto do preço por litro pela quantidade de litros vendidos: \( V = P \times Q \).
   • Substituindo as expressões encontradas para P e Q: \( V = \left( 1,50 - \frac{x}{100} \right) \times (10.000 + 100x) \)

5. Expandir e simplificar a expressão de V:

   • Aplicamos a propriedade distributiva (método FOIL - First, Outer, Inner, Last):
   • \( V = (1,50 \times 10.000) + (1,50 \times 100x) - \left( \frac{x}{100} \times 10.000 \right) - \left( \frac{x}{100} \times 100x \right) \)
   • \( V = 15.000 + 150x - \frac{10.000x}{100} - \frac{100x^2}{100} \)
   • Simplificando as frações:
   • \( V = 15.000 + 150x - 100x - x^2 \)
   • Agrupando os termos com \(x\):
   • \( V = 15.000 + (150 - 100)x - x^2 \)
   • \( V = 15.000 + 50x - x^2 \)

6. Comparar com as opções:

   • A expressão encontrada \( V = 15.000 + 50x - x^2 \) corresponde exatamente à opção D.

Portanto, a expressão correta é V = 15.000 + 50x - x².