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PUC-RJ 2019
Um pequeno copo é virado na superfície de um lago, onde o volume V de ar contido no copo está na pressão atmosférica. O copo é baixado até a profundidade H, onde o volume de ar dentro do copo se torna V/2, como mostrado na figura.
Este processo é lento, e a temperatura do copo e da água pode ser considerada como constante.
Considerando o ar um gás ideal, calcule a profundidade H, em m.
Dados
g = 10,0 m/s²;
P(atm) = 1,00 x 10⁵ Pa;
d(água) = 1,00 x 10³ kg/m³
a
10,0
b
5,00
c
1,00
d
0,500
e
0,100
Ver resposta
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Resposta
A
Resolução
Para a etapa inicial, o ar preso no copo está na superfície, à pressão atmosférica \(P_{atm}\) e volume \(V\).
Quando o copo é abaixado lentamente (processo isotérmico), a pressão sobre o ar passa a ser a soma da pressão atmosférica com a coluna de água a uma profundidade \(H\):
\[P_f = P_{atm} + \rho g H\]
O volume final é metade do inicial: \(V_f = \dfrac{V}{2}\).
Como o processo é isotérmico, vale a lei de Boyle (\(P V = \text{constante}\)):
\[P_{atm} \; V = \left(P_{atm} + \rho g H\right) \frac{V}{2}\]
Cancelando \(V\) e multiplicando ambos os lados por 2:
\[2 P_{atm} = P_{atm} + \rho g H\]
Isolando \(H\):
\[\rho g H = P_{atm}\;\;\Rightarrow\;\; H = \frac{P_{atm}}{\rho g}\]
Substituindo os dados:
\[H = \frac{1,00\times10^5\ \text{Pa}}{(1,00\times10^3\ \text{kg/m}^3)(10,0\ \text{m/s}^2)} = \frac{1,00\times10^5}{1,00\times10^4} = 10\ \text{m}\]
Profundidade: \(H = 10\;\text{m}\).
Alternativa correta: A.
Quando o copo é abaixado lentamente (processo isotérmico), a pressão sobre o ar passa a ser a soma da pressão atmosférica com a coluna de água a uma profundidade \(H\):
\[P_f = P_{atm} + \rho g H\]
O volume final é metade do inicial: \(V_f = \dfrac{V}{2}\).
Como o processo é isotérmico, vale a lei de Boyle (\(P V = \text{constante}\)):
\[P_{atm} \; V = \left(P_{atm} + \rho g H\right) \frac{V}{2}\]
Cancelando \(V\) e multiplicando ambos os lados por 2:
\[2 P_{atm} = P_{atm} + \rho g H\]
Isolando \(H\):
\[\rho g H = P_{atm}\;\;\Rightarrow\;\; H = \frac{P_{atm}}{\rho g}\]
Substituindo os dados:
\[H = \frac{1,00\times10^5\ \text{Pa}}{(1,00\times10^3\ \text{kg/m}^3)(10,0\ \text{m/s}^2)} = \frac{1,00\times10^5}{1,00\times10^4} = 10\ \text{m}\]
Profundidade: \(H = 10\;\text{m}\).
Alternativa correta: A.
Dicas
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Escreva a expressão de Boyle: \(P_1 V_1 = P_2 V_2\).
Lembre-se de que \(P_2 = P_{atm} + \rho g H\).
O volume final é metade do inicial – substitua e resolva para H.
Erros Comuns
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Esquecer que a pressão inicial já é \(P_{atm}\).
Considerar o processo adiabático em vez de isotérmico.
Trocar unidades (kPa por Pa).
Não somar a pressão atmosférica à pressão hidrostática.
Revisão
• Lei de Boyle (isotérmica): \(P_1 V_1 = P_2 V_2\).
• Pressão hidrostática: \(\Delta P = \rho g H\).
• Em um gás ideal com temperatura constante, se o volume diminui pela metade, a pressão dobra.
• Ao submergir um recipiente invertido, a pressão sobre o ar interno aumenta devido ao peso da coluna de líquido.
• Pressão hidrostática: \(\Delta P = \rho g H\).
• Em um gás ideal com temperatura constante, se o volume diminui pela metade, a pressão dobra.
• Ao submergir um recipiente invertido, a pressão sobre o ar interno aumenta devido ao peso da coluna de líquido.
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