CESMAC Demais Cursos 2019/1
Um pequeno bloco desliza com velocidade inicial v0 sobre uma superfície horizontal, como mostra a figura abaixo. Em seguida, o bloco desce uma depressão e volta a subir, passando pelo ponto P. Não há atrito em todo o seu percurso. Desprezando a resistência do ar, obtenha a expressão para a velocidade do bloco no ponto P, vP, em termos da velocidade inicial e das alturas mostradas na figura. O módulo da aceleração da gravidade é denotado por g
vP = v0 + g(H – h)
vP = v0 + 2g(H – h)
vP2 = v02 + g(H – h)
vP2 = v02 + 2g(h – H)
vP2 = v02 + 2g(H – h)
Resolução
Como não há atrito, a energia mecânica do bloco se conserva durante todo o percurso.
1. Escolha de níveis de referência
Convém adotar como referencial de energia potencial gravitacional o nível mais baixo do vale (tracejado na figura). Assim:
- Na plataforma inicial, a altura é H.
- No ponto P, a altura é h.
2. Energia na posição inicial
No instante em que o bloco parte da plataforma a energia mecânica vale
\[ E_i = K_i + U_i = \tfrac12 m v_0^2 + m g H. \]3. Energia no ponto \(P\)
No ponto P a energia mecânica é
\[ E_P = K_P + U_P = \tfrac12 m v_P^2 + m g h. \]4. Conservação da energia mecânica
Como \(E_i = E_P\), temos
\[ \tfrac12 m v_0^2 + m g H = \tfrac12 m v_P^2 + m g h. \]Multiplicando tudo por 2 e simplificando a massa \(m\):
\[ v_0^2 + 2gH = v_P^2 + 2gh. \]5. Isolando \(v_P\)
\[ v_P^2 = v_0^2 + 2g(H - h). \]Como se pede a expressão de \(v_P\), podemos deixar na forma quadrática (a alternativa já está escrita assim):
\(\boxed{\;v_P^2 = v_0^2 + 2g\,(H - h)\;}\)
Dicas
Erros Comuns
Conservação da energia mecânica
- Se só atuam forças conservativas (peso) e não há atrito, a energia mecânica (cinética + potencial) do sistema permanece constante.
- A energia cinética é \(K = \tfrac12 m v^2\).
- A energia potencial gravitacional (tomando um nível de referência) é \(U = m g h\).
- Igualamos a soma \(K+U\) no ponto inicial e no ponto desejado para achar a velocidade.
