UFTM 2013/2

Passo 1 – Relacionar o ângulo do pêndulo com a aceleração do avião

Quando o avião acelera horizontalmente com aceleração constante \(a\), a esfera do pêndulo permanece em equilíbrio estático no referencial do avião, formando um ângulo constante \(\theta\) com a vertical.

Forças na esfera:

• Peso: \(\vec{P}=m\,g\) (vertical para baixo).
• Tensão: \(\vec{T}\) ao longo do fio.

Decompomos a tensão em dois eixos:

• Eixo vertical (\(y\)): \(T\cos \theta = mg\) – garante equilíbrio vertical.
• Eixo horizontal (\(x\)): \(T\sin \theta = ma\) – fornece a aceleração da esfera (e, portanto, do avião).

Dividindo as duas equações, obtemos

\[ \tan \theta = \frac{a}{g}. \]

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\[ a = g \tan \theta. \]

Passo 2 – Calcular a aceleração

Dados: \(\sin\theta = 0{,}6\), \(\cos\theta = 0{,}8\).

Então

\[ \tan \theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{0{,}6}{0{,}8}=0{,}75. \]

Com \(g = 10\,\text{m/s}^2\):

\[ a = 10\times0{,}75 = 7{,}5\,\text{m/s}^2. \]

Passo 3 – Determinar a velocidade após percorrer 1 500 m

O avião parte do repouso, percorre \(s = 1\,500\,\text{m}\) com aceleração constante \(a\). Usamos a equação de Torricelli:

\[ v^2 = v_0^2 + 2as. \]

Como \(v_0 = 0\):

\[ v = \sqrt{2as} = \sqrt{2\times 7{,}5\times 1\,500}. \]

Calculando:

\[ v = \sqrt{22\,500}=150\,\text{m/s}. \]

Resposta: a velocidade atingida é 150 m/s.