UNICID 2016
Um octógono regular está inscrito em um círculo de área 25π cm2, conforme mostra a figura.
A área desse octógono, em cm2, é igual a
\(20\pi\)
\(50\sqrt{2}\)
\(25\sqrt{2}\)
75
\(24\pi\)
Resolução
Primeiro, determinamos o raio do círculo circunscrito:
\[A_{\text{círculo}} = \pi r^{2} = 25\pi \;\Rightarrow\; r^{2}=25 \;\Rightarrow\; r=5\,\text{cm}.\]
Para um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio R, a área é dada por
\[A = \frac{n}{2}\,R^{2}\,\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right).\]
No caso de um octógono regular (n=8):
\[A = \frac{8}{2}\,R^{2}\,\sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) = 4R^{2}\,\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).\]
Como \(\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}\):
\[A = 4R^{2}\cdot \frac{\sqrt2}{2}=2R^{2}\sqrt2.\]
Substituindo \(R = 5\,\text{cm}\):
\[A = 2 \cdot 25 \cdot \sqrt2 = 50\sqrt2\,\text{cm}^2.\]
Portanto, a área do octógono é \(\boxed{50\sqrt{2}\,\text{cm}^2}\).
Dicas
Erros Comuns
- Relação área e raio do círculo: \(A_{círculo}=\pi r^{2}\).
- Polígono regular inscrito: divide a circunferência em arcos iguais, criando triângulos isósceles congruentes com vértice no centro.
- Fórmula da área de um polígono regular inscrito: \(A=\frac{n}{2}R^{2}\sin\bigl(\frac{2\pi}{n}\bigr)\).
- Razões trigonométricas notáveis: \(\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).
