FUVEST 2004

Seja \(r\) escrito na forma \(a_1a_2,a_3\), isto é, um número cuja parte inteira é formada pelos dígitos \(a_1\) e \(a_2\) e cuja parte decimal é o dígito \(a_3\).

Sabemos que

• \(1\le a_1\le 9\) e \(0\le a_2,a_3\le 9\);
• a parte inteira de \(r\) é o quádruplo de \(a_3\);
• os dígitos \(a_1,a_2,a_3\) formam uma progressão aritmética (P.A.);
• \(a_2\) é divisível por 3.

1  Traduzindo em equações

A parte inteira de \(r\) é \(10a_1+a_2\). Logo

\[10a_1+a_2=4a_3.\]

Como \(a_1,a_2,a_3\) estão em P.A., então

\[2a_2=a_1+a_3\quad\Longrightarrow\quad a_3=2a_2-a_1.\]

2  Usando que \(a_2\) é múltiplo de 3

Os múltiplos de 3 entre 0 e 9 são 0, 3, 6 e 9. Testemos cada um.

a) \(a_2=0\)

Substituindo:

\(10a_1=4a_3\)  e  \(a_3=-a_1\)  (❌ impossível, pois dígitos são não negativos).

b) \(a_2=3\)

Da P.A.: \(a_1+a_3=6\Rightarrow a_3=6-a_1\).

Da igualdade: \(10a_1+3=4(6-a_1)\Rightarrow14a_1=21\Rightarrow a_1=1,5\) (❌ não é dígito).

c) \(a_2=6\)

P.A.: \(a_1+a_3=12\Rightarrow a_3=12-a_1\).

Igualdade: \(10a_1+6=4(12-a_1)\Rightarrow14a_1=42\Rightarrow a_1=3\).

Conclui-se \(a_3=12-3=9\), todos os dígitos válidos. Esta escolha satisfaz todas as condições:

• P.A.: 3, 6, 9 (razão 3);
• \(a_2=6\) é divisível por 3;
• \(10\cdot3+6=36=4\cdot9\).

d) \(a_2=9\)

P.A.: \(a_1+a_3=18\Rightarrow a_3=18-a_1\).

Igualdade: \(10a_1+9=4(18-a_1)\Rightarrow14a_1=63\Rightarrow a_1=4,5\) (❌ não é dígito).

3  Conclusão

O único valor possível é \(a_3=9\).

Resposta: alternativa E.