UFPR 2008
Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10x = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log2 = 0,30 e log3 = 0,47, use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2120330.
1045
1050
1055
1060
1065
Resolução
Precisamos estimar o expoente x tal que \(10^{x}=N\), onde \(N=2^{120}\,3^{30}\).
Aplicando logaritmo decimal em ambos os lados:
\[\log N = 120\,\log 2 + 30\,\log 3.\]Usaremos os valores dados:
- \(\log 2 \approx 0{,}30\);
- \(\log 3 \approx 0{,}47\).
Então
\[\log N \approx 120\cdot 0{,}30 + 30\cdot 0{,}47 = 36 + 14{,}1 = 50{,}1.\]Assim \(N \approx 10^{50{,}1}\). A potência de dez mais próxima é \(10^{50}\).
Resposta: alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
1. Notação científica: qualquer número positivo pode ser escrito como \(a\cdot 10^{k}\) com \(1\le a<10\) e \(k\in\mathbb{Z}\). O valor de \(k\) indica a ordem de grandeza.
2. Logaritmo decimal (base 10): se \(x=\log N\), então \(10^{x}=N\). O valor inteiro de \(x\) indica o expoente de dez mais próximo.
3. Propriedades dos logaritmos: \(\log(a^{m})=m\,\log a\) e \(\log(ab)=\log a+\log b\). Isso nos permite transformar potências e produtos em somas multiplicadas por expoentes.
