UEMA 2016
Um marceneiro tem como seu principal produto bancos de madeira, os quais são envernizados, antes da sua montagem, para melhor acabamento. Tais bancos são compostos pelo assento circular e quatro pernas de seção quadrada. O assento tem raio de 30cm e espessura de 5cm, enquanto as pernas têm 3cm de lado e 40cm de altura. Sabe-se que o verniz utilizado pelo marceneiro tem rendimento de 8m2, por litro, e é vendido, apenas, em latas de um litro.
Para envernizar toda a sua produção mensal, 40 (quarenta) bancos, a quantidade de latas de verniz a ser adquirida é de
Considere 1m2 = 10000cm2 e π = 3,14
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Resolução
Primeiro, calculamos a área que deve ser envernizada em um banco.
1. Assento (cilindro)
- Raio: \(r = 30\,\text{cm}\)
- Espessura (altura): \(h = 5\,\text{cm}\)
Área total do cilindro (tampa + fundo + lateral):
\[A_{\text{assento}} = 2\pi r^{2} + 2\pi r h\]
\[= 2\cdot 3{,}14 \cdot 30^{2} + 2\cdot 3{,}14 \cdot 30 \cdot 5\]
\[= 2\cdot 3{,}14 \cdot 900 + 2\cdot 3{,}14 \cdot 150\]
\[= 5652 + 942 = 6594\;\text{cm}^2\]
2. Pernas (prisma de base quadrada)
- Lado da base: \(a = 3\,\text{cm}\)
- Altura: \(H = 40\,\text{cm}\)
Área lateral de uma perna:
\[A_{\text{perna}} = 4\,(a \cdot H) = 4\cdot(3\cdot 40)=480\;\text{cm}^2\]
Como o banco tem quatro pernas:
\[A_{4\,\text{pernas}} = 4\cdot 480 = 1920\;\text{cm}^2\]
3. Área total por banco
\[A_{\text{total}} = 6594 + 1920 = 8514\;\text{cm}^2\]
4. Conversão para metros quadrados
Sabendo que \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\):
\[A_{\text{banco}} = \frac{8514}{10\,000} \approx 0{,}8514\;\text{m}^2\]
5. Produção mensal
Para 40 bancos:
\[A_{40} = 40 \times 0{,}8514 \approx 34{,}056\;\text{m}^2\]
6. Quantidade de verniz
Rendimento do verniz: \(8\;\text{m}^2\) por litro.
\[\text{Litros necessários} = \frac{34{,}056}{8} \approx 4{,}257\;\text{L}\]
Como a lata é vendida apenas em embalagens de 1 L, o marceneiro precisa comprar 5 latas.
Resposta: alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- Área de um cilindro: \(A = 2\pi r^{2} + 2\pi r h\) (duas bases circulares + superfície lateral).
- Área lateral de um prisma de base quadrada: quatro faces retangulares, cada uma de área lado × altura.
- Conversão de unidades: \(1\,\text{m}^2 = 10\,000\,\text{cm}^2\).
- Arredondamento para cima: quando o produto é vendido em unidades inteiras, qualquer fração exige a compra da unidade inteira seguinte.
