FUVEST 2021
Um marceneiro possui um pedaço de madeira no formato de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 12 cme 35 cm. A partir desta peça, ele precisa extrair o maior quadrado possível, de tal forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo.
A medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de
8,0 cm.
8,5 cm.
9,0 cm.
9,5 cm.
10,0 cm.
Resolução
O problema pede para encontrar a medida do lado do maior quadrado que pode ser extraído de um triângulo retângulo com catetos medindo 12 cm e 35 cm, de forma que um dos ângulos retos do quadrado coincida com o ângulo reto do triângulo.
Vamos visualizar a situação. Considere o triângulo retângulo ABC, com o ângulo reto em C. Seja AC = 12 cm e BC = 35 cm. Queremos inscrever um quadrado CDEF neste triângulo, onde C é o vértice do ângulo reto, D está sobre o cateto AC, F está sobre o cateto BC, e o vértice E está sobre a hipotenusa AB. Seja 'x' a medida do lado do quadrado. Então, CD = CF = DE = EF = x.
No diagrama acima, temos:
- Triângulo ABC, retângulo em C.
- AC = 12 cm
- BC = 35 cm
- Quadrado CDEF de lado x.
- D está em AC, então AD = AC - DC = 12 - x.
- F está em BC, então BF = BC - CF = 35 - x.
- E está na hipotenusa AB.
Podemos observar que o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos são triângulos retângulos (em D e C, respectivamente) e compartilham o ângulo A. Da mesma forma, o triângulo EFB é semelhante ao triângulo ABC (retângulos em F e C, compartilham o ângulo B).
Vamos usar a semelhança entre o triângulo ADE e o triângulo ABC. A razão entre as alturas relativas aos vértices A e B e as bases correspondentes deve ser a mesma:
A altura de ADE relativa ao vértice A é AD = 12 - x. A base correspondente é DE = x.
A altura de ABC relativa ao vértice A é AC = 12. A base correspondente é BC = 35.
Assim, podemos estabelecer a proporção entre os lados correspondentes:
\[ \frac{\text{altura de ADE}}{\text{altura de ABC}} = \frac{\text{base de ADE}}{\text{base de ABC}} \] \[ \frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC} \]Substituindo os valores conhecidos:
\[ \frac{12 - x}{12} = \frac{x}{35} \]Agora, resolvemos essa equação para x. Multiplicamos cruzado:
\[ 35 \times (12 - x) = 12 \times x \] \[ 420 - 35x = 12x \]Adicionamos 35x a ambos os lados:
\[ 420 = 12x + 35x \] \[ 420 = 47x \]Isolamos x:
\[ x = \frac{420}{47} \]Agora, precisamos calcular o valor de x e ver qual opção está mais próxima. Realizamos a divisão:
\[ 420 \div 47 \approx 8.936 \]Calculando:
- \( 47 \times 8 = 376 \)
- \( 47 \times 9 = 423 \)
Como 420 está mais perto de 423 do que de 376, o valor de x é mais próximo de 9.
Mais detalhadamente:
\( 420 / 47 \approx 8.93617... \)
Comparando \( x \approx 8.936 \) cm com as opções:
- A: 8,0 cm (Diferença: \( |8.936 - 8.0| = 0.936 \) )
- B: 8,5 cm (Diferença: \( |8.936 - 8.5| = 0.436 \) )
- C: 9,0 cm (Diferença: \( |8.936 - 9.0| = |-0.064| = 0.064 \) )
- D: 9,5 cm (Diferença: \( |8.936 - 9.5| = |-0.564| = 0.564 \) )
- E: 10,0 cm (Diferença: \( |8.936 - 10.0| = |-1.064| = 1.064 \) )
A menor diferença é com 9,0 cm.
Portanto, a medida do lado do quadrado desejado pelo marceneiro está mais próxima de 9,0 cm.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos Essenciais:
- Triângulo Retângulo: Um triângulo que possui um ângulo interno de 90 graus (ângulo reto). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos, e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
- Quadrado: Um quadrilátero com quatro lados de igual comprimento e quatro ângulos retos (90 graus).
- Semelhança de Triângulos: Dois triângulos são semelhantes se seus ângulos correspondentes são iguais. Isso implica que as razões entre os comprimentos dos lados correspondentes são constantes. No problema, a linha DE (lado do quadrado) é paralela à base BC, criando um triângulo menor ADE que é semelhante ao triângulo maior ABC.
- Proporção: Uma igualdade entre duas razões. A semelhança de triângulos permite estabelecer proporções entre seus lados correspondentes.
