Câmara de Fernandópolis 2022
Um livro tem 200 páginas, numeradas de 1 a 200. Nesse livro, as figuras só estão em páginas cujo número é múltiplo de 8. O total de páginas desse livro que não contém figuras e cujo número da página não contém o algarismo 8 é
135.
137.
142.
144.
148.
Resolução
Resolução passo a passo
Precisamos contar, entre as páginas numeradas de 1 a 200, aquelas que não:
- contêm figuras (ou seja, não são múltiplos de 8);
- e não possuem o algarismo 8 em sua escrita.
1. Total de páginas
Há \(200\) páginas no total.
2. Páginas com figuras
Figuras aparecem apenas em múltiplos de 8.
\[\left\lfloor \frac{200}{8} \right\rfloor = 25\] páginas contêm figuras.
3. Páginas que possuem o algarismo 8
Vamos contar de 1 a 200.
a) De 1 a 99
- Unidade 8: 8,18,28,38,48,58,68,78,88,98 → 10 números.
- Dezena 8: 80 a 89 → 10 números.
Como 88 foi contado duas vezes, temos \(10+10-1 = 19\) números.
b) De 100 a 199
- Unidade 8: 108,118,…,198 → 10 números.
- Dezena 8: 180 a 189 → 10 números.
Novamente 188 é contado duas vezes ⇒ \(10+10-1 = 19\) números.
c) Número 200
Não possui algarismo 8.
Assim, páginas com algarismo 8: \(19+19 = 38\).
4. Interseção: páginas que têm figura e algarismo 8
Liste os múltiplos de 8 até 200 e veja quais têm o algarismo 8:
8, 48, 80, 88, 128, 168, 184 → 7 páginas.
5. União (páginas a excluir)
\[|F \cup A| = |F| + |A| - |F \cap A| = 25 + 38 - 7 = 56\]
6. Páginas desejadas
\[200 - 56 = 144\]
Portanto, existem 144 páginas que não contêm figuras e cujo número não possui o algarismo 8.
Alternativa correta: D
Dicas
Erros Comuns
- Múltiplos: números obtidos pela multiplicação de um inteiro por outro (ex.: múltiplos de 8 → 8,16,24,…).
- Contagem de números com um dígito específico: separar por intervalos (0–99, 100–199, …) e usar sobreposição para evitar dupla contagem.
- Princípio da Inclusão-Exclusão: para contagem de união de dois conjuntos, somamos as quantidades individuais e subtraímos a interseção.
