ENEM 2010 segunda aplicação

Passo a passo da solução:

O problema pede para encontrar o instante de tempo \(t > 0\) em que os volumes dos dois reservatórios, \(V_1(t)\) e \(V_2(t)\), são iguais. As funções de volume são dadas por:

• \(V_1(t) = 250t³ - 100t + 3000\)
• \(V_2(t) = 150t³ + 69t + 3000\)

1. Igualar as expressões de volume: Para encontrar o tempo \(t\) em que os volumes são iguais, devemos igualar as duas funções:

\[V_1(t) = V_2(t)\]

\[250t³ - 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000\]

2. Simplificar a equação: Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com \(t\). Primeiro, podemos subtrair 3000 de ambos os lados:

\[250t³ - 100t = 150t³ + 69t\]

Agora, movemos todos os termos para o lado esquerdo da equação:

\[250t³ - 150t³ - 100t - 69t = 0\]

3. Combinar os termos semelhantes:

\[(250 - 150)t³ + (-100 - 69)t = 0\]

\[100t³ - 169t = 0\]

4. Fatorar a equação: Podemos fatorar \(t\) da expressão:

\[t(100t² - 169) = 0\]

5. Encontrar as soluções para \(t\): Esta equação é satisfeita se um dos fatores for igual a zero:

• \(t = 0\)
• \(100t² - 169 = 0\)

Vamos resolver a segunda equação:

\[100t² = 169\]

\[t² = \frac{169}{100}\]

Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

\[t = \pm \sqrt{\frac{169}{100}}\]

\[t = \pm \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}\]

\[t = \pm \frac{13}{10}\]

\[t = \pm 1.3\]

6. Interpretar o resultado: As soluções matemáticas são \(t = 0\), \(t = 1.3\) e \(t = -1.3\). Como \(t\) representa o tempo em horas, não pode ser negativo. Portanto, descartamos \(t = -1.3\). As soluções válidas no contexto do problema são \(t = 0\) e \(t = 1.3\).

O enunciado informa que os volumes são iguais no instante \(t = 0\) e pergunta qual o *outro* instante em que isso ocorre. Portanto, a resposta é \(t = 1.3\) horas.

Conclusão: O volume de leite nos dois reservatórios é igual novamente no tempo \(t = 1.3\) horas.