ENEM 2010 segunda aplicação
Depois de aberta cada torneira, o volume de leite de um reservatório é igual ao do outro no instante t = 0 e, também, no tempo t igual a
Resolução
Passo a passo da solução:
O problema pede para encontrar o instante de tempo \(t > 0\) em que os volumes dos dois reservatórios, \(V_1(t)\) e \(V_2(t)\), são iguais. As funções de volume são dadas por:
- \(V_1(t) = 250t³ - 100t + 3000\)
- \(V_2(t) = 150t³ + 69t + 3000\)
1. Igualar as expressões de volume: Para encontrar o tempo \(t\) em que os volumes são iguais, devemos igualar as duas funções:
\[V_1(t) = V_2(t)\]
\[250t³ - 100t + 3000 = 150t³ + 69t + 3000\]
2. Simplificar a equação: Vamos reorganizar a equação para isolar os termos com \(t\). Primeiro, podemos subtrair 3000 de ambos os lados:
\[250t³ - 100t = 150t³ + 69t\]
Agora, movemos todos os termos para o lado esquerdo da equação:
\[250t³ - 150t³ - 100t - 69t = 0\]
3. Combinar os termos semelhantes:
\[(250 - 150)t³ + (-100 - 69)t = 0\]
\[100t³ - 169t = 0\]
4. Fatorar a equação: Podemos fatorar \(t\) da expressão:
\[t(100t² - 169) = 0\]
5. Encontrar as soluções para \(t\): Esta equação é satisfeita se um dos fatores for igual a zero:
- \(t = 0\)
- \(100t² - 169 = 0\)
Vamos resolver a segunda equação:
\[100t² = 169\]
\[t² = \frac{169}{100}\]
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
\[t = \pm \sqrt{\frac{169}{100}}\]
\[t = \pm \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{100}}\]
\[t = \pm \frac{13}{10}\]
\[t = \pm 1.3\]
6. Interpretar o resultado: As soluções matemáticas são \(t = 0\), \(t = 1.3\) e \(t = -1.3\). Como \(t\) representa o tempo em horas, não pode ser negativo. Portanto, descartamos \(t = -1.3\). As soluções válidas no contexto do problema são \(t = 0\) e \(t = 1.3\).
O enunciado informa que os volumes são iguais no instante \(t = 0\) e pergunta qual o *outro* instante em que isso ocorre. Portanto, a resposta é \(t = 1.3\) horas.
Conclusão: O volume de leite nos dois reservatórios é igual novamente no tempo \(t = 1.3\) horas.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
Para resolver esta questão, é fundamental entender os seguintes conceitos:
- Funções Polinomiais: As expressões \(V_1(t)\) e \(V_2(t)\) são funções polinomiais do terceiro grau (cúbicas) que descrevem como o volume varia com o tempo \(t\).
- Igualdade de Funções: Para encontrar quando duas quantidades descritas por funções são iguais, devemos igualar as expressões matemáticas dessas funções. No caso, \(V_1(t) = V_2(t)\).
- Resolução de Equações Polinomiais: A igualdade \(V_1(t) = V_2(t)\) resulta em uma equação polinomial. Neste caso específico, a equação \(100t³ - 169t = 0\) pode ser resolvida por fatoração, colocando o termo comum (\(t\)) em evidência.
- Fatoração: A fatoração \(t(100t² - 169) = 0\) simplifica a resolução, pois implica que \(t = 0\) ou \(100t² - 169 = 0\).
- Resolução de Equações Quadráticas Incompletas: A equação \(100t² - 169 = 0\) é uma equação quadrática do tipo \(ax² + c = 0\), que pode ser resolvida isolando \(t²\) e extraindo a raiz quadrada.
- Interpretação de Resultados: É crucial interpretar as soluções matemáticas no contexto do problema. Como \(t\) representa tempo, soluções negativas geralmente são descartadas. Além disso, o enunciado pede um tempo *diferente* de \(t=0\).
