UERJ 2018/2
Um jogo consiste em lançar cinco vezes um dado cúbico, cujas faces são numeradas de 1 a 6, cada uma com a mesma probabilidade de ocorrer. Um jogador é considerado vencedor se obtiver pelo menos três resultados pares. A probabilidade de um jogador vencer é:
\(\frac{3}{5}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{2}\)
Resolução
Seja \(X\) a quantidade de resultados pares (2, 4 ou 6) obtidos em 5 lançamentos. Cada lançamento é independente e, em cada um deles, a probabilidade de sair um número par é \(p=\frac12\) (três faces pares em seis possíveis).
Assim, \(X\sim\text{Binomial}(n=5,\,p=\tfrac12)\).
O jogador vence quando \(X\ge 3\). Então
\[\Pr(X\ge 3)=\Pr(X=3)+\Pr(X=4)+\Pr(X=5).\]
Usando a fórmula da binomial \(\Pr(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\):
- \(\Pr(X=3)=\binom{5}{3}\left(\tfrac12\right)^3\left(\tfrac12\right)^2=10\left(\tfrac12\right)^5\)
- \(\Pr(X=4)=\binom{5}{4}\left(\tfrac12\right)^4\left(\tfrac12\right)^1=5\left(\tfrac12\right)^5\)
- \(\Pr(X=5)=\binom{5}{5}\left(\tfrac12\right)^5=1\left(\tfrac12\right)^5\)
Somando:
\[\Pr(X\ge 3)=(10+5+1)\left(\tfrac12\right)^5=16\left(\tfrac12\right)^5=\frac{16}{32}=\frac12.\]
Portanto, a probabilidade de o jogador vencer é \(\boxed{\tfrac12}\), correspondente à alternativa D.
Dicas
Erros Comuns
Distribuição Binomial
Modela o número de sucessos em \(n\) tentativas independentes, cada uma com probabilidade \(p\) de sucesso. A probabilidade de obter \(k\) sucessos é \(\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
Cálculo de “pelo menos”
Para \(X\ge m\), soma-se as probabilidades de cada valor desejado (ou usa-se o complemento).
Probabilidade em dados
Em um dado honesto há três números pares (2, 4, 6); logo, \(p=\tfrac{3}{6}=\tfrac12\).
