Ministério da Defesa - Exército Brasileiro 2019
Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das faces é:
22
35
40
42
50
Resolução
Para resolver a questão, primeiramente é necessário entender que um cubo possui 8 vértices e cada vértice é formado pela interseção de 3 faces. Assim, ao calcular o produto dos números escritos nas três faces que se encontram em cada vértice, temos um total de 8 produtos. Cada aresta do cubo é compartilhada por dois vértices, então cada número escrito nas faces será contado três vezes no total, uma vez para cada vértice que compartilha essa face.
Seja x a soma dos números das faces. Como cada número é contado três vezes, a soma de todos os produtos dos números nas faces para os 8 vértices será 3x. Consequentemente, a soma dos produtos para os 8 vértices (3x) é igual a 1105, logo, podemos dividir 1105 por 3 para encontrar o valor de x.
Dicas
Relembre que cada face de um cubo contribui para o produto em três vértices diferentes.
A soma dos produtos dos números das faces em todos os vértices é o triplo da soma dos números de todas as faces.
Divida a soma total dos produtos pelo número de vezes que cada número é contado nos produtos dos vértices.
Erros Comuns
Esquecer de dividir a soma dos produtos pelo número de vezes que cada número das faces é contado.
Confundir a soma dos produtos dos números das faces com a soma dos próprios números das faces.
Para resolver problemas envolvendo geometria espacial e, em particular, propriedades de um cubo, é fundamental entender a relação entre as faces, arestas e vértices de um cubo. Além disso, é importante saber como operações básicas de aritmética, como multiplicação e adição, podem ser aplicadas em contextos geométricos.
