ENEM 2017

Passo a passo da solução:

1. Identificar as dimensões das taças: A base é um círculo de raio \(r_{\text{base}} = 4\) cm, logo o diâmetro da base é \(d_{\text{base}} = 2 \times 4 = 8\) cm. A borda superior é um círculo de raio \(r_{\text{topo}} = 5\) cm, logo o diâmetro do topo é \(d_{\text{topo}} = 2 \times 5 = 10\) cm.
2. Analisar as restrições da bandeja: A bandeja é retangular. As quatro taças devem ser dispostas em uma única fileira, paralela ao lado maior. As bases das taças devem estar totalmente apoiadas na bandeja. A área da bandeja deve ser mínima.
3. Determinar a largura mínima da bandeja: Para que as bases (diâmetro 8 cm) estejam totalmente apoiadas, a largura da bandeja (o lado menor, perpendicular à fileira de taças) deve ser, no mínimo, igual ao diâmetro da base. Portanto, Largura mínima (W) = \(d_{\text{base}} = 8\) cm.
4. Determinar o espaçamento mínimo entre as taças: As taças são objetos físicos e não podem se sobrepor. A parte mais larga de cada taça é o topo (diâmetro 10 cm). Para que as taças fiquem o mais próximo possível sem se tocarem, a distância mínima entre os centros de duas taças adjacentes deve ser igual ao diâmetro do topo. Distância mínima entre centros = \(d_{\text{topo}} = 10\) cm.
5. Calcular o comprimento mínimo da bandeja: As quatro taças estão em fileira. Vamos posicionar os centros das bases das taças (C1, C2, C3, C4) ao longo de uma linha reta, com a distância mínima de 10 cm entre centros adjacentes. Podemos definir as posições dos centros como: C1 em x=0, C2 em x=10, C3 em x=20, C4 em x=30. A bandeja precisa acomodar as *bases* dessas taças. A base da primeira taça (C1) se estende de \(x = 0 - r_{\text{base}}\) a \(x = 0 + r_{\text{base}}\), ou seja, de -4 cm a 4 cm. A base da última taça (C4) se estende de \(x = 30 - r_{\text{base}}\) a \(x = 30 + r_{\text{base}}\) , ou seja, de 26 cm a 34 cm. O comprimento total da bandeja deve cobrir desde a extremidade esquerda da primeira base (x=-4) até a extremidade direita da última base (x=34). Comprimento mínimo (L) = \(34 - (-4) = 38\) cm.
6. Verificar a condição do lado maior: As dimensões mínimas encontradas são Comprimento (L) = 38 cm e Largura (W) = 8 cm. Como L > W (38 > 8), a fileira de taças está paralela ao lado maior, conforme exigido.
7. Calcular a área mínima: A área mínima da bandeja é o produto do comprimento mínimo pela largura mínima. Área mínima = L × W = 38 cm × 8 cm = 304 cm².

Portanto, a área mínima da bandeja é 304 cm².