FUVEST 2009

Os três recipientes devem ter o mesmo volume.

1. Volume da taça esférica (meia-esfera)

Para uma esfera de raio \(r\): \(V_{\text{esfera}} = \dfrac{4\pi r^{3}}{3}\).

Como temos meia esfera:

\[ V_{1}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{4\pi r^{3}}{3}=\dfrac{2\pi r^{3}}{3}. \]

2. Volume da taça cônica

Raio da base \(2r\) e altura \(h\):

\[ V_{2}=\dfrac{\pi(2r)^{2}h}{3}=\dfrac{4\pi r^{2}h}{3}. \]

3. Igualando os volumes 1 e 2

\[ \dfrac{2\pi r^{3}}{3}=\dfrac{4\pi r^{2}h}{3}\;\Longrightarrow\;2r^{3}=4r^{2}h\;\Longrightarrow\;h=\dfrac{r}{2}. \]

4. Volume da taça cilíndrica

Raio \(x\) e altura \(h\):

\[ V_{3}=\pi x^{2}h. \]

5. Igualando os volumes 1 e 3

\[ \pi x^{2}h=\dfrac{2\pi r^{3}}{3}\;\Longrightarrow\;x^{2}h=\dfrac{2r^{3}}{3}. \]

Substituindo \(h=\frac{r}{2}\):

\[ x^{2}\left(\dfrac{r}{2}\right)=\dfrac{2r^{3}}{3}\;\Longrightarrow\;x^{2}=\dfrac{4r^{2}}{3}. \]

Logo \(x=\dfrac{2r}{\sqrt3}\).

6. Razão \(\displaystyle \frac{x}{h}\)

\[ \frac{x}{h}=\frac{\dfrac{2r}{\sqrt3}}{\dfrac{r}{2}}=\frac{2r}{\sqrt3}\cdot\frac{2}{r}=\frac{4}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}. \]

Portanto, a razão é \(\dfrac{4\sqrt3}{3}\).

Alternativa correta: E.