FUVEST 2018
Um fabricante de acessórios de montanhismo quer projetar um colchão de espuma apropriado para ser utilizado por alpinistas em regiões frias. Considere que a taxa de transferência de calor ao solo por uma pessoa dormindo confortavelmente seja 90 kcal/hora e que a transferência de calor entre a pessoa e o solo se dê exclusivamente pelo mecanismo de condução térmica através da espuma do colchão. Nestas condições, o gráfico representa a taxa de transferência de calor, em J/s, através da espuma do colchão, em função de sua espessura, em cm.
Considerando 1 cal = 4 J, a menor espessura do colchão, em cm, para que a pessoa durma confortavelmente é
1,0.
1,5.
2,2
2,8
3,9
Resolução
Para resolver esta questão, precisamos determinar a menor espessura do colchão que permite uma taxa de transferência de calor de 90 kcal/hora, que é a condição para a pessoa dormir confortavelmente. O gráfico fornecido relaciona a taxa de transferência de calor (em J/s) com a espessura do colchão (em cm).
Passo 1: Converter a taxa de transferência de calor para J/s.
A taxa de transferência de calor confortável é dada como 90 kcal/hora. Precisamos converter esta unidade para J/s, que é a unidade utilizada no eixo y do gráfico. A conversão de 1 cal = 4 J é fornecida.
- Converta quilocalorias (kcal) para calorias (cal):
\(90 \text{ kcal} = 90 \times 1000 \text{ cal} = 90000 \text{ cal}\) - Converta calorias (cal) para Joules (J):
\(90000 \text{ cal} \times 4 \text{ J/cal} = 360000 \text{ J}\) - Converta horas para segundos:
\(1 \text{ hora} = 3600 \text{ segundos}\) - Calcule a taxa de transferência de calor em J/s:
Taxa = \(\frac{360000 \text{ J}}{3600 \text{ s}} = 100 \text{ J/s}\)
Portanto, a taxa de transferência de calor para que a pessoa durma confortavelmente é de 100 J/s.
Passo 2: Utilizar o gráfico para encontrar a espessura correspondente.
O gráfico mostra a taxa de transferência de calor (J/s) no eixo vertical (y) e a espessura (cm) no eixo horizontal (x).
No eixo y (Taxa de transferência de calor):
- Cada marcação principal representa 100 J/s (0, 100, 200, 300, 400 J/s).
- Existem 5 subdivisões entre 0 e 100 J/s, então cada subdivisão representa \(100/5 = 20 \text{ J/s}\).
No eixo x (Espessura):
- Cada marcação principal representa 1 cm (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cm).
- Existem 5 subdivisões entre 0 e 1 cm, então cada subdivisão representa \(1/5 = 0,2 \text{ cm}\).
Agora, localizamos 100 J/s no eixo y. Este valor corresponde à primeira linha principal acima do zero.
Siga horizontalmente a partir de 100 J/s no eixo y até encontrar a curva. A partir desse ponto de interseção, desça verticalmente até o eixo x para ler a espessura correspondente.
Observando o gráfico, a linha horizontal de 100 J/s cruza a curva em um ponto que, quando projetado verticalmente para o eixo x, corresponde a 1,5 cm.
Passo 3: Conclusão.
A espessura do colchão que resulta em uma taxa de transferência de calor de 100 J/s é 1,5 cm. O problema pede a menor espessura para que a pessoa durma confortavelmente. Se a espessura for menor que 1,5 cm, a taxa de transferência de calor será maior que 100 J/s (a pessoa perderá calor muito rapidamente). Se a espessura for maior que 1,5 cm, a taxa de transferência de calor será menor que 100 J/s (a pessoa perderá calor mais lentamente, o que também é confortável ou até melhor). Portanto, 1,5 cm é a menor espessura que atinge a taxa de conforto especificada de 100 J/s.
Assim, a menor espessura do colchão para que a pessoa durma confortavelmente é 1,5 cm.
Dicas
Erros Comuns
Transferência de Calor por Condução: A condução é um processo de transferência de calor que ocorre através de um meio material (sólido, líquido ou gasoso) devido à diferença de temperatura. As partículas de maior energia transferem energia para as partículas de menor energia adjacentes. A taxa de transferência de calor (\(\Phi\)) por condução através de uma placa de material é dada pela Lei de Fourier:
\[ \Phi = \frac{k \cdot A \cdot \Delta T}{e} \]
Onde:
- \(\Phi\) é a taxa de transferência de calor (potência térmica), geralmente em Watts (J/s).
- \(k\) é a condutividade térmica do material (mede a capacidade do material de conduzir calor).
- \(A\) é a área da seção transversal através da qual o calor flui.
- \(\Delta T\) é a diferença de temperatura entre as faces da placa.
- \(e\) é a espessura do material.
No contexto do problema, o gráfico representa \(\Phi\) em função de \(e\). A forma da curva (hiperbólica decrescente) é consistente com a relação \(\Phi \propto 1/e\).
Conversão de Unidades: É fundamental converter todas as grandezas para um sistema de unidades consistente antes de realizar cálculos ou interpretar gráficos.
- Energia: Caloria (cal) e Joule (J) são unidades de energia. Quilocaloria (kcal) = 1000 cal. O problema fornece 1 cal = 4 J.
- Potência (Taxa de Transferência de Calor): É a energia transferida por unidade de tempo. Unidades comuns são cal/s, kcal/h, J/s (Watt).
- Tempo: Hora (h) e segundo (s). 1 hora = 3600 segundos.
