UFAM 2018
Um dos personagens da encantadora história O Pequeno Príncipe, de Antoine de Saint-Exupéry, é o aviador que se depara, após uma pane em seu avião no deserto do Saara, com um menino com cabelos de ouro e um cachecol vermelho, que lhe pede para desenhar um carneiro. Mesmo com o principezinho lhe fazendo muitas perguntas e parecendo sequer escutar as suas, o aviador descobre que o pequeno príncipe veio do Asteroide B-612. Nesse mundo há apenas uma rosa que fala com ele, três vulcões (sendo um deles extinto) e os baobás, que o principezinho fica com medo que tomem conta do asteroide que “era pouco maior do que uma casa!” Considerando que o raio do Asteroide B612, suposto esférico, seja seis ordens de grandeza menor que o raio da Terra, e que sua densidade seja igual à da Terra e que sua rotação seja desprezível, podemos afirmar que o valor da aceleração da gravidade na superfície do Asteroide B-612 é:
100 m/s2
10-1 m/s2
10-4 m/s2
10-5 m/s2
10-6 m/s2
Resolução
Dados do enunciado
- Asteroide B-612 é esférico.
- Seu raio é seis ordens de grandeza menor que o da Terra.
- Densidade do asteroide = densidade da Terra.
- Desprezar rotação.
Seja
\[R_{T} \;\text{: raio da Terra}\qquad R_{B}=\frac{R_{T}}{10^{6}}\;\text{: raio do asteroide}\]
1. Relação entre a gravidade superficial e o raio (densidades iguais)
Para um corpo homogêneo:
\[g=\frac{G M}{R^{2}},\qquad M=\rho\,\frac{4\pi R^{3}}{3}\]
Logo
\[g=G\rho\,\frac{4\pi}{3}\;R\;\;\Longrightarrow\;\;g\propto R\;(\text{se }\rho\text{ é a mesma}).\]
2. Gravidade no Asteroide B-612
\[\frac{g_{B}}{g_{T}}=\frac{R_{B}}{R_{T}}=\frac{1}{10^{6}}\]
Assim,
\[g_{B}=g_{T}\times10^{-6}.\]
Tomando a ordem de grandeza da gravidade terrestre como \(g_{T}\approx 10^{0}\,\text{m/s}^{2}\) (9,8 ≈ 100), temos
\[g_{B}\approx 10^{0}\times10^{-6}=10^{-6}\;\text{m/s}^{2}.\]
Resposta: 10-6 m/s².
Dicas
Erros Comuns
Conceitos-chave
- Massa de uma esfera homogênea: \(M=\rho\,\tfrac{4\pi R^{3}}{3}\).
- Aceleração da gravidade na superfície: \(g=GM/R^{2}\).
- Se a densidade é constante entre dois corpos, então \(g\propto R\) (a gravidade cresce linearmente com o raio).
- Ordem de grandeza: valor expresso como potência de 10 cuja mantissa fica entre 1 e 10 (9,8 ≈ 100).
