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ITA 2021
Um dodecaedro regular tem \(12\) faces que são pentágonos regulares.
Escolhendo-se \(2\) vértices distintos desse dodecaedro, a probabilidade de eles pertencerem a uma mesma aresta é igual a:
a
\(\frac{15}{100}.\)
b
\(\frac{3}{19}.\)
c
\(\frac{15}{190}.\)
d
\(\frac{15}{12}.\)
e
\(\frac{2}{5}.\)
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Resposta
B
Tempo médio
4 min
Resolução
Resolução passo a passo
- Dados de um dodecaedro regular
- Número de vértices \(V = 20\)
- Número de arestas \(A = 30\)
- Número de faces \(F = 12\)
- Total de pares de vértices distintos
Escolher 2 vértices quaisquer entre 20, sem ordem, dá:
\[\binom{20}{2}=\frac{20\times19}{2}=190.\] - Pares que pertencem à mesma aresta
Cada aresta une exatamente dois vértices, formando um par favorável. Como há 30 arestas, existem 30 pares favoráveis. - Probabilidade
\[P=\frac{\text{pares favoráveis}}{\text{pares possíveis}}=\frac{30}{190}=\frac{3}{19}.\] - Alternativa correta
\(\boxed{\text{B}}\).
Dicas
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Lembre-se de que o dodecaedro tem 20 vértices e 30 arestas.
Cada aresta corresponde a um único par de vértices adjacentes.
Use combinação \(\binom{n}{2}\) para contar todos os pares não ordenados de vértices.
Erros Comuns
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Esquecer que o dodecaedro possui 20 vértices, não 12.
Usar 20 como denominador direto (30/20).
Contar cada aresta duas vezes e dividir por 2 sem necessidade, resultando em 15 pares favoráveis.
Confundir faces com vértices ou arestas ao montar a fração da probabilidade.
Revisão
Conceitos-chave
- Combinatória: \(\binom{n}{k}\) conta subconjuntos de \(k\) elementos retirados de \(n\) sem ordem.
- Poliedros de Platão: O dodecaedro regular possui 20 vértices e 30 arestas.
- Probabilidade clássica: \(P=\dfrac{\text{nº de casos favoráveis}}{\text{nº de casos possíveis}}\) quando todos os casos são igualmente prováveis.
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