FUVEST 2022
Um deltaedro é um poliedro cujas faces são todas triângulos equiláteros.
Se um deltaedro convexo possui 8 vértices, então o número de faces desse deltaedro é:
Note e adote:
Em poliedros convexos, vale a relação de Euler 𝐹−𝐴+𝑉=2, em que 𝐹 é o número de faces, 𝐴 é o número de arestas e 𝑉 é o número de vértices do poliedro.
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Resolução
Para resolver esta questão, vamos utilizar a Relação de Euler para poliedros convexos e as informações fornecidas sobre o deltaedro.
Dados do problema:
- O poliedro é um deltaedro, o que significa que todas as suas faces são triângulos equiláteros.
- O poliedro é convexo.
- O número de vértices (V) é 8.
Relação de Euler:
A Relação de Euler para poliedros convexos é dada por: \( F - A + V = 2 \), onde:
- \( F \) é o número de faces.
- \( A \) é o número de arestas.
- \( V \) é o número de vértices.
Passo 1: Substituir o valor de V na Relação de Euler.
Sabemos que \( V = 8 \). Substituindo na Relação de Euler:
\[ F - A + 8 = 2 \] \[ F - A = 2 - 8 \] \[ F - A = -6 \quad (*)\]Passo 2: Relacionar o número de arestas (A) com o número de faces (F).
Como o poliedro é um deltaedro, todas as suas faces são triângulos. Cada face triangular possui 3 arestas.
Se multiplicarmos o número de faces (F) pelo número de arestas por face (3), obteremos \( 3F \). Este valor representa a soma do número de arestas de todas as faces contadas individualmente.
No entanto, em um poliedro, cada aresta é compartilhada por exatamente duas faces. Portanto, ao somar as arestas de todas as faces individualmente (\( 3F \)), contamos cada aresta duas vezes. Assim, temos a relação:
\[ 2A = 3F \]Isolando A, obtemos:
\[ A = \frac{3F}{2} \quad (**) \]Passo 3: Substituir a expressão de A na equação (*).
Agora, substituímos a expressão para A (**) na equação (*):
\[ F - \left(\frac{3F}{2}\right) = -6 \]Para resolver essa equação, podemos multiplicar todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
\[ 2F - 3F = -12 \] \[ -F = -12 \] \[ F = 12 \]Passo 4: Conclusão.
Portanto, o número de faces desse deltaedro é 12.
Podemos também calcular o número de arestas para verificar a consistência:
\[ A = \frac{3F}{2} = \frac{3 imes 12}{2} = \frac{36}{2} = 18 \]Verificando com a Relação de Euler: \( F - A + V = 12 - 18 + 8 = -6 + 8 = 2 \). A relação é satisfeita.
Dicas
Erros Comuns
Poliedros: São sólidos geométricos tridimensionais cujas superfícies são compostas por um número finito de faces planas. Cada face é um polígono.
Deltaedro: É um tipo especial de poliedro em que todas as faces são triângulos equiláteros.
Poliedro Convexo: Um poliedro é convexo se o segmento de reta que une quaisquer dois de seus pontos estiver inteiramente contido no poliedro.
Relação de Euler para Poliedros Convexos: Para qualquer poliedro convexo, a relação entre o número de faces (F), o número de arestas (A) e o número de vértices (V) é dada pela fórmula: \( F - A + V = 2 \).
Relação entre Arestas e Faces: Se um poliedro tem todas as faces com \( n \) lados (ou seja, cada face é um \( n \)-ágono), e \( F \) é o número total de faces, então o produto \( nF \) conta cada aresta duas vezes (pois cada aresta é compartilhada por duas faces). Assim, \( 2A = nF \). Para um deltaedro, as faces são triângulos (\( n=3 \)), então \( 2A = 3F \).
