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ESPM 2018/2
Um dado em forma de cubo tem suas faces numeradas de 1 a 6. Outro dado, em forma de octaedro regular, tem suas faces numeradas de 1 a 8. Jogando-se esses dois dados, a probabilidade de que o número obtido no cubo seja maior que o número obtido no octaedro é:
a
\(\frac{7}{12}\)
b
\(\frac{2}{3}\)
c
\(\frac{5}{16}\)
d
\(\frac{3}{4}\)
e
\(\frac{7}{18}\)
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Resposta
C
Tempo médio
2 min
Resolução
Seja \(X\) o resultado no dado cúbico (faces 1 a 6) e \(Y\) o resultado no octaedro (faces 1 a 8).
1. Total de resultados possíveis
Os lançamentos são independentes. Logo, o espaço amostral contém
\[ 6\times8 = 48 \]pares ordenados \((X,Y)\).
2. Condição desejada
Queremos \(X>Y\). Contemos quantas vezes isso ocorre para cada valor de \(X\):
- \(X=1\): nunca é > \(Y\) (0 casos).
- \(X=2\): precisa de \(Y=1\) (1 caso).
- \(X=3\): \(Y=1,2\) (2 casos).
- \(X=4\): \(Y=1,2,3\) (3 casos).
- \(X=5\): \(Y=1,2,3,4\) (4 casos).
- \(X=6\): \(Y=1,2,3,4,5\) (5 casos).
Número total de casos favoráveis:
\[ 0+1+2+3+4+5 = 15. \]3. Probabilidade
\[ P(X>Y)=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos possíveis}}=\frac{15}{48}=\frac{5}{16}. \]Portanto, a alternativa correta é a C.
Dicas
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Liste todos os 48 pares possíveis \((X,Y)\).
Para cada valor de \(X\), conte quantos valores de \(Y\) o deixam maior.
Some esses contadores e divida pelo total de pares.
Erros Comuns
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Esquecer que o octaedro tem 8 faces e assumir dois dados de 6 faces, obtendo 15/36 = 5/12.
Calcular \(P(Y>X)\) em vez de \(P(X>Y)\).
Somar os resultados em vez de comparar, pensando em soma maior que algo.
Revisão
Conceitos-chave
- Espaço amostral uniforme: quando todos os resultados têm a mesma probabilidade.
- Contagem de casos favoráveis: em eventos compostos, conte separadamente para cada valor possível.
- Probabilidade clássica: \(P=\dfrac{\text{favoráveis}}{\text{possíveis}}\) quando os resultados são igualmente prováveis.
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