CESGRANRIO 2010
Um corpo A desloca-se em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado de modo que a sua posição, em relação a uma origem previamente determinada, é dada pela função horária \(Sa=2+\frac{7t}{4}-\frac{t^2}{4}\). Um corpo B desloca-se em Movimento Retilíneo e Uniforme, na mesma direção do movimento de A, de forma que a sua posição, em relação à mesma origem, é dada pela função horária \(Sb=2+\frac{t}{2}\). A e B iniciaram seus movimentos no mesmo instante. Em ambas as funções, t está em segundos e S, em metros. Depois de certo tempo, os corpos chocam-se frontalmente.
O maior afastamento, em metros, entre os corpos A e B é
25/4
25/8
25/16
81/8
81/16
Resolução
Sejam
\[S_A=2+\frac{7t}{4}-\frac{t^{2}}{4}\qquad\text{e}\qquad S_B=2+\frac{t}{2}\]
1. Função da separação
A distância algébrica entre os corpos é a diferença de posições:
\[D(t)=S_B-S_A=(2+\tfrac{t}{2})-(2+\tfrac{7t}{4}-\tfrac{t^{2}}{4})=\frac{t^{2}}{4}-\frac{5t}{4}.\]
Logo
\[D(t)=\frac{t(t-5)}{4}.\]
- Em \(t=0\): \(D=0\) (partem do mesmo ponto).
- Em \(t=5\): \(D=0\) (colisão).
2. Intervalo de interesse
Entre 0 e 5 s vale \(0<t<5\). Nesse intervalo \(t-5<0\Rightarrow D(t)<0\); logo a distância física é \(|D|=-D\).
3. Maximização da distância
Considere
\[|D|=-D=\frac{5t-t^{2}}{4}.\]
Defina \(f(t)=5t-t^{2}\). É uma parábola côncava cuja abscissa do vértice é
\[t_v=-\frac{b}{2a}=\frac{5}{2}=2{,}5\;\text{s}.\]
Essa abscissa pertence ao intervalo (0,5), portanto o máximo ocorre em \(t=2,5\;\text{s}.\)
4. Valor máximo
\[f(2{,}5)=5\cdot2{,}5-(2{,}5)^2=\frac{25}{2}-\frac{25}{4}=\frac{25}{4}.\]
Dividindo por 4:
\[|D|_{\max}=\frac{25/4}{4}=\frac{25}{16}\;\text{m}.\]
5. Resposta
O maior afastamento entre os corpos é \(\displaystyle\frac{25}{16}\,\text{m}.\)
Alternativa C.
Dicas
Erros Comuns
- MRUV (Movimento Retilíneo Uniformemente Variado): posição descrita por uma função quadrática no tempo.
- MRU (Movimento Retilíneo Uniforme): posição descrita por uma função linear no tempo.
- Distância relativa: diferença das posições: \(D(t)=S_B-S_A\).
- Máximo/Mínimo de uma parábola: ocorre no vértice, dado por \(t_v=-\frac{b}{2a}\) para \(f(t)=at^2+bt+c\).
