ENEM 2018

Passo a Passo da Solução:

1. Compreender o problema: Queremos encontrar a primeira parcela futura (depois da 30ª) que pode ser paga antecipadamente junto com a 30ª, de modo que o desconto obtido seja maior que 25% do valor da parcela.

2. Identificar os dados:

   • Valor da parcela (Valor Futuro, V): R\$ 820,00
   • Taxa de juros mensal (i): 1,32% = 0,0132
   • Número total de parcelas: 60
   • Momento do pagamento antecipado: Junto com a 30ª parcela.
   • Condição para antecipação: Desconto > 0,25 * V
   • Aproximações: \( \ln(4/3) \approx 0,2877 \) e \( \ln(1,0132) \approx 0,0131 \)

3. Entender o conceito de Valor Presente (P): O valor presente (P) é o valor que uma quantia futura (V) tem hoje, considerando uma taxa de juros (i) e um período de tempo (n). A fórmula dada é \( V = P \cdot (1 + i)^n \). Para calcular o valor presente P, isolamos P na fórmula: \( P = \frac{V}{(1 + i)^n} = V \cdot (1 + i)^{-n} \).

4. Calcular o período de antecipação (n): Se a k-ésima parcela (com \( k > 30 \)) for paga no momento da 30ª parcela, ela está sendo antecipada em \( n = k - 30 \) meses.

5. Formular a condição do desconto:

   • O desconto é a diferença entre o valor original da parcela (V) e o valor pago antecipadamente (P): Desconto = \( V - P \).
   • A condição é: Desconto > 0,25 * V
   • Substituindo o desconto: \( V - P > 0,25 \cdot V \)
   • Substituindo P: \( V - V \cdot (1 + i)^{-n} > 0,25 \cdot V \)
   • Como V é positivo (R\$ 820,00), podemos dividir toda a inequação por V sem alterar o sinal da desigualdade: \( 1 - (1 + i)^{-n} > 0,25 \)

6. Resolver a inequação:

   • \( 1 - 0,25 > (1 + i)^{-n} \)
   • \( 0,75 > (1 + i)^{-n} \)
   • \( \frac{3}{4} > (1 + i)^{-n} \)
   • Invertendo ambos os lados e o sinal da desigualdade: \( \frac{4}{3} < (1 + i)^{n} \)
   • Substituir \( i = 0,0132 \) e \( n = k - 30 \): \( \frac{4}{3} < (1 + 0,0132)^{k-30} \)
   • \( \frac{4}{3} < (1,0132)^{k-30} \)

7. Aplicar logaritmos: Para isolar o expoente \( k - 30 \), aplicamos o logaritmo natural (ln) em ambos os lados (como as aproximações dadas são para ln):

   • \( \ln\left(\frac{4}{3}\right) < \ln\left((1,0132)^{k-30}\right) \)
   • Usando a propriedade \( \ln(a^b) = b \cdot \ln(a) \): \( \ln\left(\frac{4}{3}\right) < (k - 30) \cdot \ln(1,0132) \)

8. Usar as aproximações fornecidas:

   • \( 0,2877 < (k - 30) \cdot 0,0131 \)

9. Isolar k:

   • Dividir ambos os lados por 0,0131 (que é positivo): \( \frac{0,2877}{0,0131} < k - 30 \)
   • Calcular a divisão: \( \frac{0,2877}{0,0131} = \frac{2877}{131} \approx 21,96 \)
   • \( 21,96... < k - 30 \)
   • Adicionar 30 a ambos os lados: \( 21,96... + 30 < k \)
   • \( 51,96... < k \)

10. Determinar a primeira parcela: A inequação \( k > 51,96... \) indica que o número da parcela \( k \) deve ser maior que 51,96... Como \( k \) deve ser um número inteiro (representando o número da parcela), o menor valor inteiro de \( k \) que satisfaz essa condição é \( k = 52 \).

Conclusão:

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª, de forma que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela, é a 52ª parcela.