UFRGS HIS MAT 2014

Solução passo a passo

Seja o cone original de raio da base \(R = 10\,\text{cm}\) e altura \(H = 12\,\text{cm}\).

1. Volume do cone original

\[V_{\text{orig}} = \frac{1}{3}\pi R^{2}H = \frac{1}{3}\pi\,(10)^{2}\,12 = 400\pi\,\text{cm}^3.\]

2. Condição do enunciado

O plano paralelo à base divide o cone em:

• um pequeno cone que contém o vértice (altura \(h\));
• um tronco de cone (a parte de baixo).

Os dois sólidos devem ter volumes iguais. Logo, o volume do pequeno cone deve ser metade do volume total:

\[V_{\text{pequeno}} = \frac{1}{2}V_{\text{orig}} = 200\pi\,\text{cm}^3.\]

3. Semelhança entre os cones

Os dois cones (o original e o pequeno) são semelhantes, pois seus eixos e geratrizes são proporcionais. Se \(h\) é a altura do pequeno cone, então o fator de escala linear é

\[k = \frac{h}{H}=\frac{h}{12}.\]

Para sólidos semelhantes, o volume varia com o cubo do fator de escala:

\[\frac{V_{\text{pequeno}}}{V_{\text{orig}}}=k^{3}=\left(\frac{h}{12}\right)^{3}.\]

4. Igualando as razões de volume

Como \(V_{\text{pequeno}} = \dfrac{1}{2}V_{\text{orig}}\), temos:

\[\left(\frac{h}{12}\right)^{3}=\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; \frac{h}{12}=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=2^{-1/3}.\]

Portanto,

\[h = 12\cdot 2^{-1/3}=12\,\frac{1}{\sqrt[3]{2}}.\]

5. Expressão mais “limpa”

Multiplicando numerador e denominador por \(\sqrt[3]{4}\) (já que \(\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{8}=2\)), obtemos:

\[h = 12\cdot\frac{\sqrt[3]{4}}{2}=6\,\sqrt[3]{4}\,\text{cm}.\]

Resposta

\(\boxed{6\,\sqrt[3]{4}\,\text{cm}}\)