Ministério da Defesa - Aeronáutica 2023
Um cone de revolução possui volume igual a 128 𝜋 cm3. Em sua base inscreve-se um hexágono regular de lado 8 cm.
Considere um cilindro que tenha o mesmo volume e a mesma área da base do cone descrito anteriormente.
A razão entre a altura do cone e a altura do cilindro, nessa ordem, ambas na mesma unidade de medida, é igual a
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{2}{3}\)
1
3
Resolução
Passo 1 – Dados do cone
Volume do cone: \(V_c = 128\,\pi\,\text{cm}^3\).
Na base do cone está inscrito um hexágono regular de lado 8 cm. Num hexágono regular inscrito em uma circunferência, o lado é igual ao raio da circunferência.
Logo, o raio da base do cone é
\[ r = 8\,\text{cm}. \]
Área da base do cone:
\[ A_b = \pi r^2 = \pi\,(8)^2 = 64\,\pi\,\text{cm}^2. \]
Passo 2 – Altura do cone
Fórmula do volume do cone:
\[ V_c = \frac{1}{3} A_b h_c. \]
Substituindo:
\[ 128\,\pi = \frac{1}{3}\,(64\,\pi)\,h_c \;\Longrightarrow\; h_c = \frac{128\times 3}{64}=6\,\text{cm}. \]
Passo 3 – Dados do cilindro
O cilindro deve possuir:
- mesma área da base: \(A_b = 64\,\pi\,\text{cm}^2\);
- mesmo volume: \(V_c = 128\,\pi\,\text{cm}^3\).
Volume do cilindro: \(V_{cil} = A_b\,h_{cil}\).
Então:
\[ 128\,\pi = 64\,\pi\,h_{cil} \;\Longrightarrow\; h_{cil} = 2\,\text{cm}. \]
Passo 4 – Razão das alturas
\[ \text{Razão} = \frac{h_{cone}}{h_{cilindro}} = \frac{6}{2}=3. \]
Resposta: 3 (alternativa D).
Dicas
Erros Comuns
- Volume do cone: \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\).
- Volume do cilindro: \(V = \pi r^2 h\).
- Hexágono regular inscrito: quando um hexágono regular está inscrito numa circunferência, cada lado é igual ao raio.
- Razão: dividir a medida do cone pela medida do cilindro, na mesma unidade.
