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UERJ 2012/2
Um cilindro sólido e homogêneo encontra-se, inicialmente, apoiado sobre sua base no interior de um recipiente.
Após a entrada de água nesse recipiente até um nível máximo de altura H, que faz o cilindro ficar totalmente submerso, verifica-se que a base do cilindro está presa a um fio inextensível de comprimento L. Esse fio está fixado no fundo do recipiente e totalmente esticado.
Observe a figura:
Após a entrada de água nesse recipiente até um nível máximo de altura H, que faz o cilindro ficar totalmente submerso, verifica-se que a base do cilindro está presa a um fio inextensível de comprimento L. Esse fio está fixado no fundo do recipiente e totalmente esticado.
Observe a figura:
Em função da altura do nível da água, o gráfico que melhor representa a intensidade da força F que o fio exerce sobre o cilindro é:
a
b
c
d
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Resposta
D
Tempo médio
2 min
Resolução
Com o cilindro inicialmente apoiado no fundo, o fio encontra-se frouxo (sem tensão).
1. Ao começar a entrar água, o empuxo \(E=\rho\_\text{água}\,g\,A\,h\) cresce proporcionalmente à altura \(h\) da lâmina líquida sobre a base do cilindro (\(A\) é a área da base). Enquanto \(E<P\) (peso do cilindro), a força normal do fundo equilibra a diferença e a tração no fio é nula.
2. Quando \(E=P\) o cilindro perde o contato com o fundo. Nesse instante a água atingiu a altura \(h=L\); é a altura necessária para que o empuxo iguale o peso. O fio fica totalmente esticado, mas ainda sem tração: \(F=0\).
3. A partir desse ponto, se continuarmos a acrescentar água, o cilindro não pode subir (está preso pelo fio), de modo que todo acréscimo de empuxo transforma-se em tração no fio:
\[F(h)=E(h)-P=\rho\_\text{água}\,g\,A\,(h-L)\quad (L<h<L+H\_c)\]
onde \(H\_c\) é a altura do cilindro.
Portanto, de \(h=L\) até que ele fique totalmente submerso, \(F\) cresce linearmente com a altura da água.
4. Quando o topo do cilindro passa a ficar submerso (\(h=L+H\_c\)), o volume deslocado deixa de variar: o empuxo torna-se máximo e constante \(E\_\text{máx}=\rho\_\text{água}gV\). Daí em diante (até a altura máxima \(H\) indicada no enunciado) a tração mantém-se constante:
\[F\_\text{máx}=E\_\text{máx}-P=(\rho\_\text{água}-\rho\_\text{cil})gV\;\text{(const.)}\]
Resumo:
• para \(h\le L\): \(F=0\);
• para \(L<h<L+H\_c\): \(F\) cresce linearmente;
• para \(h\ge L+H\_c\) (até \(H\)): \(F\) é constante.
O único gráfico que apresenta essas três regiões (trecho nulo, inclinado e patamar) é o da alternativa D.
1. Ao começar a entrar água, o empuxo \(E=\rho\_\text{água}\,g\,A\,h\) cresce proporcionalmente à altura \(h\) da lâmina líquida sobre a base do cilindro (\(A\) é a área da base). Enquanto \(E<P\) (peso do cilindro), a força normal do fundo equilibra a diferença e a tração no fio é nula.
2. Quando \(E=P\) o cilindro perde o contato com o fundo. Nesse instante a água atingiu a altura \(h=L\); é a altura necessária para que o empuxo iguale o peso. O fio fica totalmente esticado, mas ainda sem tração: \(F=0\).
3. A partir desse ponto, se continuarmos a acrescentar água, o cilindro não pode subir (está preso pelo fio), de modo que todo acréscimo de empuxo transforma-se em tração no fio:
\[F(h)=E(h)-P=\rho\_\text{água}\,g\,A\,(h-L)\quad (L<h<L+H\_c)\]
onde \(H\_c\) é a altura do cilindro.
Portanto, de \(h=L\) até que ele fique totalmente submerso, \(F\) cresce linearmente com a altura da água.
4. Quando o topo do cilindro passa a ficar submerso (\(h=L+H\_c\)), o volume deslocado deixa de variar: o empuxo torna-se máximo e constante \(E\_\text{máx}=\rho\_\text{água}gV\). Daí em diante (até a altura máxima \(H\) indicada no enunciado) a tração mantém-se constante:
\[F\_\text{máx}=E\_\text{máx}-P=(\rho\_\text{água}-\rho\_\text{cil})gV\;\text{(const.)}\]
Resumo:
• para \(h\le L\): \(F=0\);
• para \(L<h<L+H\_c\): \(F\) cresce linearmente;
• para \(h\ge L+H\_c\) (até \(H\)): \(F\) é constante.
O único gráfico que apresenta essas três regiões (trecho nulo, inclinado e patamar) é o da alternativa D.
Dicas
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Quando o fio ainda está frouxo, quem reage ao peso do cilindro?
O que acontece com o volume deslocado depois que o cilindro fica totalmente submerso?
Converta as condições de força em trechos do gráfico: força nula, crescimento linear, força constante.
Erros Comuns
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Supor que o empuxo continua aumentando mesmo após a submersão total, esquecendo que o volume deslocado não cresce mais.
Achar que a tração surge assim que aparece empuxo, ignorando que antes o cilindro ainda está apoiado no fundo.
Desconsiderar o trecho inicial de empuxo nulo e começar o gráfico na origem.
Revisão
- Empuxo (Princípio de Arquimedes) – igual ao peso do fluido deslocado: \(E=\rho\_f V\_s g\).
- Condições de equilíbrio – Somatório de forças verticais deve ser nulo.
- Corpo parcialmente submerso – Volume submerso (e portanto o empuxo) cresce linearmente com a altura imersa para geometria prismática/cilíndrica.
- Tração em fio inextensível – Surge apenas quando o fio fica esticado; acima disso o fio absorve toda força extra para impedir o movimento.
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