ITA 2010

1. Altura do tetraedro

Para um tetraedro regular de aresta a, a distância do vértice ao plano da face oposta é \[H=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\,a\].
Com \(a = 3\,\text{cm}\): \[H = 3\sqrt{\tfrac{2}{3}} = \sqrt{6}\;\text{cm}.\]

2. Posição do cilindro

A base do cilindro está sobre uma das faces e seu eixo é perpendicular a essa face (mesma direção da altura do tetraedro).
A altura do cilindro foi dada: \(h = \tfrac{\sqrt6}{3}=\tfrac H3\). Assim, o topo do cilindro encontra o tetraedro num plano paralelo à face de base, situado a \(h\) da base.

3. Secção paralela a uma pirâmide

Num tetraedro (uma pirâmide de base triangular), ao se fazer uma secção paralela à base a uma distância \(y\) desta, obtém-se um triângulo semelhante ao da base, com fator de redução \(k = 1-\tfrac{y}{H}\).

Como \(y = h = H/3\), então \[k = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.\]
A aresta do triângulo de secção vale \(k\,a = \tfrac23\cdot3 = 2\;\text{cm}.\)

4. Raio do cilindro

O cilindro precisa caber inteiramente dentro desse triângulo de topo, logo seu raio é o raio incrito do triângulo equilátero de lado 2 cm:

Em um triângulo equilátero de lado \(s\), o raio inscrito é \(r = \tfrac{\sqrt3}{6}s\).
Portanto, \[r = \frac{\sqrt3}{6}\cdot2 = \frac{\sqrt3}{3}\;\text{cm}.\]

5. Volume do cilindro

\[V = \pi r^{2} h = \pi\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^{2}\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)= \pi\left(\frac{3}{9}\right)\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)=\frac{\pi\sqrt6}{9}\;\text{cm}^3.\]

Resposta: alternativa D.