UDESC Verão Manhã 2020

Resolução passo a passo

Para um projétil lançado de um ponto e retornando ao mesmo nível de lançamento (altura inicial desprezada) sem resistência do ar, valem as fórmulas clássicas:

• Tempo total de voo: \[ T = \frac{2V_0\sin\theta_0}{g} \]
• Alcance horizontal: \[ R = \frac{V_0^{2}\sin2\theta_0}{g} \]

Os dados do enunciado são:

• Tempo medido: \( T = 10\,\text{s} \)
• Alcance medido: \( R = 100\,\text{m} \)
• Adota-se \( g = 10\,\text{m/s}^2 \) (valor usual em questões do ENEM)

1. Encontrando \( V_0\sin\theta_0 \)

Da expressão do tempo:

\[ 10 = \frac{2V_0\sin\theta_0}{10} \;\Longrightarrow\; V_0\sin\theta_0 = 50 \tag{1} \]

2. Encontrando \( V_0\cos\theta_0 \)

Da expressão do alcance:

\[ 100 = \frac{V_0^{2}\sin2\theta_0}{10} \;\Longrightarrow\; V_0^{2}\sin2\theta_0 = 1000 \]

Sabendo que \(\sin2\theta_0 = 2\sin\theta_0\cos\theta_0 \), vem:

\[ V_0^{2}\,2\sin\theta_0\cos\theta_0 = 1000 \] \[ 2V_0\,(V_0\sin\theta_0)\cos\theta_0 = 1000 \]

Substituindo (1):

\[ 2V_0\,(50)\cos\theta_0 = 1000 \] \[ 100V_0\cos\theta_0 = 1000 \;\Longrightarrow\; V_0\cos\theta_0 = 10 \tag{2} \]

3. Calculando \( \tan\theta_0 \)

Dividindo (1) por (2):

\[ \tan\theta_0 = \frac{V_0\sin\theta_0}{V_0\cos\theta_0} = \frac{50}{10} = 5 \]

4. Calculando \( V_0 \)

O módulo da velocidade inicial pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras sobre as componentes:

\[ V_0^{2} = (V_0\sin\theta_0)^{2} + (V_0\cos\theta_0)^{2} = 50^{2} + 10^{2} = 2500 + 100 = 2600 \] \[ \Rightarrow \; V_0 = \sqrt{2600}\,\text{m/s} \]

Resultado

\[ \boxed{\tan\theta_0 = 5 \quad \text{e} \quad V_0 = \sqrt{2600}\,\text{m/s}} \]

Portanto, a alternativa correta é A.