UnB 2012/1
Um cabo flexível e homogêneo suspenso entre dois pontos, como as linhas telefônicas entre dois postes, forma uma curva denominada catenária, devido à ação exclusiva da força peso.
A figura I ilustra essa curva, em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy, em que o ponto mais baixo da curva está sobre o eixo Oy. Nesse sistema, a catenária é o gráfico da função \(y=f(x)=\frac{a}{2}\left[e^{bx}+e^{-bx}\right]\), em que a e b são constantes reais positivas e
e é a base do logaritmo natural.
A figura II mostra o sólido denominado catenoide, que pode ser obtido girando-se em torno do eixo Ox a região do plano xOy compreendida entre as retas x = -c e x = c, acima do eixo Ox e abaixo da catenária, representada na figura I. Esse sólido também pode ser obtido mergulhando-se, em uma solução de água e sabão, uma argola de arame e retirando-a em seguida.
A partir das informações acima, julgue o item.
Considere que a figura abaixo ilustre um catenoide obtido pela rotação da catenária definida por y = f (x) = \(\frac{1}{2}\)\(\left[e^x+e^{-x}\right]\) em torno do eixo Ox, para 0 ≤ x ≤ ln2. Se V1 e V2 são, respectivamente, os volumes dos cilindros inscrito e circunscrito a esse catenoide, no intervalo em questão, e se 3,14 e 0,69 são valores aproximados para B e ln 2, respectivamente, então o valor numérico de V2 - V1 é inferior a 1,3.
Certa
Errada
Resolução
Para o intervalo \(0 \le x \le \ln 2\) a catenária é dada por
\[ y = f(x)=\tfrac12\left(e^{x}+e^{-x}\right)=\cosh x. \]
Ao girarmos esse arco em torno do eixo \(Ox\) obtemos um sólido de revolução cujas secções transversais (planos perpendiculares ao eixo) são círculos de raio \(y=\cosh x\).
1. Cálculo dos raios extremos
Como \(\cosh x\) é crescente para \(x\ge 0\):
- raio mínimo (para o cilindro inscrito): \(R_1 = \cosh(0)=1\);
- raio máximo (para o cilindro circunscrito): \(R_2 = \cosh(\ln 2) = \tfrac12\bigl(2+\tfrac12\bigr)=1{,}25.\)
2. Altura comum dos cilindros
A altura corresponde ao comprimento do intervalo em \(x\):
\[ h = \ln 2 \approx 0{,}69. \]
3. Volumes dos cilindros
Para qualquer cilindro de raio \(R\) e altura \(h\): \(V = \pi R^{2}h.\)
Cilindro inscrito:
\[ V_1 = \pi(1)^2(0{,}69) \approx 3{,}14\times 0{,}69 \approx 2{,}17. \]
Cilindro circunscrito:
\[ V_2 = \pi(1{,}25)^2(0{,}69)=\pi(1{,}5625)(0{,}69) \approx 3{,}14\times1{,}078125 \approx 3{,}39. \]
4. Diferença de volumes
\[ V_2-V_1 \approx 3{,}39-2{,}17 = 1{,}22. \]
Como \(1{,}22 < 1{,}3\), a afirmação é verdadeira.
Dicas
Erros Comuns
- Catenária: curva definida por \(y=\cosh x\) (soma de exponenciais sobre 2).
- Sólido de revolução: ao girar um gráfico em torno de um eixo, cada ponto gera um círculo de raio igual ao valor de \(y\).
- Cilindro: volume \(V = \pi R^{2}h\).
- Função \(\cosh x\) crescente para \(x\ge 0\), logo seu valor mínimo ocorre em \(x=0\).
