ENEM 2018 segunda aplicação

Passo a passo da solução:

1. Identificar a informação dada: A área do círculo inscrito no hexágono regular é \(3\pi\) metros quadrados.

2. Usar a fórmula da área do círculo: A fórmula da área de um círculo é \(A_{círculo} = \pi r^2\), onde \(r\) é o raio.

   Sabemos que \(A_{círculo} = 3\pi\). Então, temos a equação:

   \[ \pi r^2 = 3\pi \]

3. Calcular o raio do círculo inscrito: Dividindo ambos os lados da equação por \(\pi\), obtemos:

   \[ r^2 = 3 \]

   Portanto, o raio do círculo inscrito é \(r = \sqrt{3}\) metros (o raio deve ser positivo).

4. Relacionar o raio do círculo inscrito com o hexágono: O raio \(r\) do círculo inscrito em um polígono regular é igual ao apótema (a) desse polígono. Logo, o apótema do hexágono é \(a = r = \sqrt{3}\) metros.

5. Calcular a área do hexágono regular: A área de um hexágono regular pode ser calculada de algumas formas. Uma delas relaciona a área diretamente com o apótema (\(a\) ou \(r\) neste caso):

   \[ A_{hexágono} = 2\sqrt{3} a^2 \]

   Substituindo \(a = \sqrt{3}\) (ou \(a^2 = 3\)), temos:

   \[ A_{hexágono} = 2\sqrt{3} \times 3 \] \[ A_{hexágono} = 6\sqrt{3} \text{ metros quadrados} \]

6. Método alternativo (usando o lado L):

   a. Relacionar o apótema \(a\) com o lado \(L\) do hexágono regular: \(a = \frac{L\sqrt{3}}{2}\).

   b. Substituir \(a = \sqrt{3}\): \(\sqrt{3} = \frac{L\sqrt{3}}{2}\).

   c. Resolver para \(L\): Dividindo por \(\sqrt{3}\), temos \(1 = \frac{L}{2}\), o que implica \(L = 2\) metros.

   d. Calcular a área do hexágono usando a fórmula com o lado \(L\): \(A_{hexágono} = \frac{3L^2\sqrt{3}}{2}\).

   e. Substituir \(L = 2\): \(A_{hexágono} = \frac{3(2^2)\sqrt{3}}{2} = \frac{3(4)\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\) metros quadrados.

7. Conclusão: Ambos os métodos confirmam que a área do hexágono regular é \(6\sqrt{3}\) metros quadrados.