ENEM 2018

Um artesão possui potes cilíndricos de tinta cujas medidas externas são 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. Ele pretende adquirir caixas organizadoras para armazenar seus potes de tinta, empilhados verticalmente com tampas voltadas para cima, de forma que as caixas possam ser fechadas. No mercado, existem cinco opções de caixas organizadoras, com tampa, em formato de paralelepípedo reto retângulo, vendidas pelo mesmo preço, possuindo as seguintes dimensões internas:

Qual desses modelos o artesão deve adquirir para conseguir armazenar o maior número de potes por caixa?

III

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Resposta

Tempo médio

3 min

Resolução

O objetivo é determinar qual das cinco caixas organizadoras pode armazenar o maior número de potes de tinta cilíndricos. Os potes têm 4 cm de diâmetro e 6 cm de altura. As caixas são paralelepípedos reto retângulos com dimensões internas dadas.

Precisamos calcular quantos potes cabem em cada caixa, considerando que eles são empilhados verticalmente com as tampas para cima.

Dimensões do Pote:

Diâmetro: 4 cm
Altura: 6 cm

Para cada caixa, calcularemos:

Quantos potes cabem no comprimento: Dividir o comprimento interno da caixa pelo diâmetro do pote (4 cm) e pegar a parte inteira.
Quantos potes cabem na largura: Dividir a largura interna da caixa pelo diâmetro do pote (4 cm) e pegar a parte inteira.
Quantos potes cabem na altura (empilhamento): Dividir a altura interna da caixa pela altura do pote (6 cm) e pegar a parte inteira.
Número total de potes: Multiplicar os três valores obtidos.

Cálculo para cada modelo de caixa:

Modelo I: Comprimento=8 cm, Largura=8 cm, Altura=40 cm

Comprimento: \( \lfloor 8 / 4 \rfloor = 2 \) potes
Largura: \( \lfloor 8 / 4 \rfloor = 2 \) potes
Altura: \( \lfloor 40 / 6 \rfloor = \lfloor 6.66... \rfloor = 6 \) potes (camadas)
Total: \( 2 \times 2 \times 6 = 24 \) potes

Modelo II: Comprimento=8 cm, Largura=20 cm, Altura=14 cm

Comprimento: \( \lfloor 8 / 4 \rfloor = 2 \) potes
Largura: \( \lfloor 20 / 4 \rfloor = 5 \) potes
Altura: \( \lfloor 14 / 6 \rfloor = \lfloor 2.33... \rfloor = 2 \) potes (camadas)
Total: \( 2 \times 5 \times 2 = 20 \) potes

Modelo III: Comprimento=18 cm, Largura=5 cm, Altura=35 cm

Comprimento: \( \lfloor 18 / 4 \rfloor = \lfloor 4.5 \rfloor = 4 \) potes
Largura: \( \lfloor 5 / 4 \rfloor = \lfloor 1.25 \rfloor = 1 \) pote
Altura: \( \lfloor 35 / 6 \rfloor = \lfloor 5.83... \rfloor = 5 \) potes (camadas)
Total: \( 4 \times 1 \times 5 = 20 \) potes

Modelo IV: Comprimento=20 cm, Largura=12 cm, Altura=12 cm

Comprimento: \( \lfloor 20 / 4 \rfloor = 5 \) potes
Largura: \( \lfloor 12 / 4 \rfloor = 3 \) potes
Altura: \( \lfloor 12 / 6 \rfloor = 2 \) potes (camadas)
Total: \( 5 \times 3 \times 2 = 30 \) potes

Modelo V: Comprimento=24 cm, Largura=8 cm, Altura=14 cm

Comprimento: \( \lfloor 24 / 4 \rfloor = 6 \) potes
Largura: \( \lfloor 8 / 4 \rfloor = 2 \) potes
Altura: \( \lfloor 14 / 6 \rfloor = \lfloor 2.33... \rfloor = 2 \) potes (camadas)
Total: \( 6 \times 2 \times 2 = 24 \) potes

Comparação:

Modelo I: 24 potes
Modelo II: 20 potes
Modelo III: 20 potes
Modelo IV: 30 potes
Modelo V: 24 potes

O Modelo IV é o que permite armazenar o maior número de potes (30).

Dicas

Quantos círculos de 4 cm de diâmetro cabem lado a lado em um segmento de X cm?

Quantos potes de 6 cm de altura podem ser empilhados em uma caixa de Y cm de altura?

O número total de potes é o produto de quantos cabem no comprimento, na largura e na altura.

Erros Comuns

Calcular o volume da caixa e dividir pelo volume do pote. Isso não funciona para problemas de empacotamento, pois ignora o espaço perdido entre os objetos.

Não usar a parte inteira (função piso) ao dividir as dimensões. Por exemplo, usar 6.66 em vez de 6 para a altura no Modelo I.

Erros de cálculo nas divisões ou multiplicações.

Confundir diâmetro com raio.

Considerar apenas uma ou duas dimensões (por exemplo, a área da base ou a altura) em vez das três.

Trocar as dimensões da caixa ou do pote.

Revisão

Para resolver esta questão, é preciso entender:

Dimensões de um Cilindro: Um pote cilíndrico possui diâmetro (largura máxima da base circular) e altura.
Dimensões de um Paralelepípedo Reto Retângulo: Uma caixa com essa forma possui três dimensões internas: comprimento, largura e altura.
Empacotamento: Como objetos menores (potes) se encaixam dentro de um objeto maior (caixa). Neste caso, o encaixe é feito alinhando os potes lado a lado e empilhando-os.
Função Piso (Parte Inteira): Ao dividir a dimensão da caixa pela dimensão correspondente do pote (diâmetro para comprimento e largura, altura para altura), apenas a parte inteira do resultado importa, pois não é possível encaixar uma fração de pote. Representado por \( \lfloor x \rfloor \).

27%

Taxa de acerto

21.4

Média de pontos TRI

Habilidade

Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.

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