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UNIFOR Tecnológica 2013/2
Um aquário, em forma de paralelepípedo retangular de dimensões 8 cm, 6 cm, e 16 cm, está com 2/3 de seu volume ocupado pela água. Quando uma esfera maciça é imersa lentamente nesse aquário, a água passa a ocupar o volume total desse recipiente, sem derramar. Considerando π aproximadamente 3, o raio da esfera (em centímetros) é de:
a
3
b
4
c
5
d
6
e
7
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Resposta
B
Resolução
O volume do aquário (paralelepípedo) é
\[V_{\text{aquário}} = 8 \cdot 6 \cdot 16 = 768\;\text{cm}^3.\]
Como ele está inicialmente cheio em \(\tfrac23\), o volume de água é
\[V_{\text{água}} = \tfrac23 \cdot 768 = 512\;\text{cm}^3.\]
Restava, portanto, \(\tfrac13\) do aquário vazio:
\[V_{\text{vazio}} = 768 - 512 = 256\;\text{cm}^3.\]
Ao mergulhar a esfera, ela desloca exatamente esse volume vazio. Assim,
\[V_{\text{esfera}} = 256\;\text{cm}^3.\]
O volume da esfera é dado por \( \dfrac{4}{3}\,\pi r^{3}\). Tomando \(\pi \approx 3\):
\[\frac{4}{3}\, (3) \, r^{3} = 4r^{3} = 256 \;\Rightarrow\; r^{3} = 64 \;\Rightarrow\; r = 4\;\text{cm}.\]
Logo, o raio da esfera é 4 cm.
Dicas
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1. Ache o volume total do aquário: 8×6×16.
2. Qual fração ainda está vazia? Esse é o volume da esfera.
3. Iguale \(\tfrac43\pi r^{3}\) a esse volume usando π≈3.
Erros Comuns
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Esquecer que apenas 1/3 do aquário estava vazio e usar 2/3 para o volume da esfera.
Usar π≈3,14 e acabar com pequenas diferenças numéricas, levando a r≈4,02 e escolher 5.
Confundir diâmetro com raio, dobrando o valor obtido.
Revisão
- Paralelepípedo retangular: volume é o produto das três dimensões \(V = a\,b\,c\).
- Princípio de Arquimedes: um corpo imerso desloca um volume de líquido igual ao seu próprio volume.
- Esfera: volume \(V = \tfrac43\pi r^{3}\).
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