Mackenzie 2014/2

Denotemos por \(Q_A,\,Q_B\,\text{e}\,Q_C\) as cargas das esferas A, B e C, situadas nos pontos \(x_A=0\), \(x_B=d\) e \(x_C=3d\) de um eixo horizontal. O plano é liso, de modo que cada esfera deve estar em equilíbrio eletrostático (força resultante nula).

1. Forças na esfera B

As distâncias são \(r_{BA}=d\) e \(r_{BC}=2d\). A força de Coulomb sobre B é

\[ \vec F_B = k\frac{Q_BQ_A}{d^2}\,\hat\imath - k\frac{Q_BQ_C}{(2d)^2}\,\hat\imath = \frac{kQ_B}{d^2}\bigl(Q_A-\tfrac{Q_C}{4}\bigr)\,\hat\imath. \]

Para \(\vec F_B=0\) (e \(Q_B\neq0\)):

\[ Q_A = \frac{Q_C}{4}. \tag{1} \]

2. Forças na esfera A

Para A, as distâncias são \(r_{AB}=d\) e \(r_{AC}=3d\). A resultante é

\[ \vec F_A = -k\frac{Q_AQ_B}{d^2}\,\hat\imath - k\frac{Q_AQ_C}{(3d)^2}\,\hat\imath = -\frac{kQ_A}{d^2}\bigl(Q_B+\tfrac{Q_C}{9}\bigr)\,\hat\imath. \]

Impondo \(\vec F_A=0\; (Q_A\neq0)\;\Rightarrow\; Q_B = -\dfrac{Q_C}{9}. \tag{2}

3. Verificação para a esfera C

Usando (1) e (2):

• \(Q_A = \dfrac{Q_C}{4}\)
• \(Q_B = -\dfrac{Q_C}{9}\)

Tomando, por exemplo, \(Q_C > 0\), temos \(Q_A > 0\) e \(Q_B < 0\).
Cálculo da resultante em C:

\[ |\vec F_{CA}| = k\frac{|Q_CQ_A|}{(3d)^2}=k\frac{Q_C^2}{36d^2},\qquad |\vec F_{CB}| = k\frac{|Q_CQ_B|}{(2d)^2}=k\frac{Q_C^2}{36d^2}, \]

em sentidos opostos, anulando-se. Logo as três esferas ficam em equilíbrio com:

• A e C — cargas positivas.
• B — carga negativa.

Essa distribuição corresponde à alternativa E.