ITA 2021
Três esferas metálicas maciças E1, E2 e E3, feitas de um mesmo material e de raios R1, R2 e R3, respectivamente, podem trocar cargas elétricas entre si a partir do acionamento de contatos elétricos. Inicialmente apenas E1 encontra-se eletricamente carregada. Em um primeiro momento estabelece-se contato elétrico entre E1 e E2, que é cortado quando o sistema atinge o equilíbrio elétrico. A seguir, estabelece-se contato entre E2 e E3. Ao final do processo, observa-se que a carga elétrica líquida das três esferas é igual.
Desprezando a capacitância mútua entre as esferas, assinale a proporção entre as massas de E1, E2, e E3, respectivamente.
1:1:1
1:2:2
2:1:1
8:1:1
1:8:8
Resolução
Dados importantes
- Esferas condutoras idênticas no material ⇒ mesma densidade (ρ constante).
- Para esferas isoladas e bem separadas, sua capacitância própria é \(C = 4\pi\varepsilon_0 R\).
- Quando duas esferas entram em contato, o potencial delas se iguala: \(V = \dfrac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R_1}=\dfrac{q_2}{4\pi\varepsilon_0 R_2}\;\Rightarrow\;\dfrac{q_1}{R_1}=\dfrac{q_2}{R_2}.\)
1. Primeiro contato (E1–E2)
Antes do contato: Q0 em E1, 0 em E2.
Depois do equilíbrio:
\[ q_1' = Q_0\frac{R_1}{R_1+R_2},\qquad q_2' = Q_0\frac{R_2}{R_1+R_2}. \]E3 continua neutra.
2. Segundo contato (E2–E3)
Conservação de carga no par E2–E3:
\[q_2''+q_3'' = q_2'.\]Igualdade de potenciais:
\[\frac{q_2''}{R_2}=\frac{q_3''}{R_3}\;\Rightarrow\;q_2'' = q_2'\frac{R_2}{R_2+R_3},\quad q_3''=q_2'\frac{R_3}{R_2+R_3}.\]As cargas finais ficam:
\[ q_1^{\text{f}} = Q_0\frac{R_1}{R_1+R_2},\quad q_2^{\text{f}} = Q_0\frac{R_2^2}{(R_1+R_2)(R_2+R_3)},\quad q_3^{\text{f}} = Q_0\frac{R_2R_3}{(R_1+R_2)(R_2+R_3)}. \]3. Condição dada no enunciado
Observa-se que as três esferas terminam com a mesma carga:
\[ q_1^{\text{f}} = q_2^{\text{f}} = q_3^{\text{f}}.\]Igualando \(q_1^{\text{f}}\) e \(q_2^{\text{f}}\):
\[ \frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{R_2^2}{(R_1+R_2)(R_2+R_3)}\;\Longrightarrow\;R_1(R_2+R_3)=R_2^2.\tag{1} \]Igualando \(q_1^{\text{f}}\) e \(q_3^{\text{f}}\):
\[ R_1(R_2+R_3)=R_2R_3.\tag{2} \]Comparando (1) e (2):
\[R_2^2 = R_2R_3 \Rightarrow R_2 = R_3.\]Substituindo em (2):
\[R_1(2R_2)=R_2^2 \Rightarrow 2R_1 = R_2 \Rightarrow R_1:R_2:R_3 = 1:2:2.\]4. Relação entre as massas
Para um mesmo material, \(m \propto V \propto R^3\). Assim:
\[ \frac{m_1}{m_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8},\quad m_2 = m_3. \]Portanto:
m1 : m2 : m3 = 1 : 8 : 8.
Alternativa correta: E.
Dicas
Erros Comuns
- Capacitância de uma esfera isolada: \(C = 4\pi\varepsilon_0 R\).
- Igualação de potenciais em contato: ao ligar duas esferas condutoras, seus potenciais se igualam, logo \(q_1/R_1 = q_2/R_2\).
- Conservação de carga: a soma das cargas do(s) corpos em contato permanece constante.
- Relação massa–raio para sólidos de mesma densidade: \(m \propto R^3\).
