OBMEP 2006
Três casais de namorados vão sentar-se em um banco de uma praça. Em quantas ordens diferentes os seis podem sentar-se de modo que cada namorado fique ao lado de sua namorada?
6
12
44
46
48
Resolução
Solução detalhada
Temos três casais, totalizando 6 pessoas, que deverão sentar-se em fila sobre um banco, obedecendo à condição de que a cada namorado(a) fique imediatamente ao lado de seu par.
1. Agrupar cada casal como um “bloco”
Se o casal deve ficar junto, podemos inicialmente tratar cada casal como uma peça única.
- Número de blocos: 3
- Arranjando esses 3 blocos na fila: \(3!\) maneiras.
\[3! = 6\]
2. Ordem interna em cada bloco
Dentro de cada bloco há duas possibilidades de posição (homem-mulher ou mulher-homem). Para cada um dos 3 casais:
- Modos internos: \(2\) maneiras.
Como os casais são independentes, multiplicamos:
\[2^3 = 8\]
3. Total de arranjos
Multiplicando as variações:
\[ \text{Total} = 3! \times 2^3 = 6 \times 8 = 48 \]
Portanto, há 48 formas diferentes de acomodar os seis de modo que cada namorado esteja ao lado da sua namorada.
Resposta: alternativa E.
Dicas
Erros Comuns
Revisão dos conceitos
- Permutação simples (\(n!\)): número de maneiras de ordenar \(n\) elementos distintos em fila.
- Princípio fundamental da contagem: se uma tarefa pode ser feita de \(a\) formas e outra de \(b\) formas independentes, juntas podem ocorrer de \(a \times b\) formas.
- Técnica dos blocos: em problemas de arranjos com “elementos que devem permanecer juntos”, agrupamos os elementos em um bloco, contamos blocos e depois multiplicamos pelas maneiras internas de ordenar cada bloco.
