INSPER Análise Quantitativa e Lógica 2016/1
Texto para a questão
Em um programa de televisão que revela novos talentos para a música, cada candidato faz uma breve apresentação para os 4 jurados que, inicialmente, ficam de costas, apenas ouvindo. Durante a apresentação, todos os jurados que gostarem da voz daquele candidato viram‐se para ele. Se pelo menos um jurado se virar, o candidato é selecionado.
Considerando a informação sublinhada no texto inicial, uma afirmação necessariamente verdadeira sobre esse programa é:
se o candidato não foi selecionado, pelo menos um jurado não se virou para ele.
se o candidato não foi selecionado, nenhum jurado se virou para ele.
se pelo menos um dos jurados não se virar, o candidato não é selecionado.
um jurado não se vira se, e somente se, o candidato não é selecionado.
o candidato é selecionado se, e somente se, todos os jurados se virarem.
Resolução
A questão pede para identificar uma afirmação necessariamente verdadeira com base na regra de seleção de um programa de talentos: "Se pelo menos um jurado se virar, o candidato é selecionado".
Esta regra é uma declaração condicional, que pode ser representada na forma "Se P, então Q", onde:
- P: "Pelo menos um jurado se virar"
- Q: "O candidato é selecionado"
A afirmação dada é P → Q.
Em lógica, uma declaração condicional (P → Q) é logicamente equivalente à sua contrapositiva (¬Q → ¬P), onde ¬ significa "não". Vamos encontrar a contrapositiva da regra dada:
- ¬Q: "O candidato não é selecionado"
- ¬P: "Não é verdade que pelo menos um jurado se virou"
A negação de "pelo menos um jurado se virou" é "nenhum jurado se virou". Portanto, ¬P é "Nenhum jurado se virou".
Assim, a contrapositiva (¬Q → ¬P) é: "Se o candidato não foi selecionado, então nenhum jurado se virou para ele".
Agora, vamos analisar as opções:
- A: "se o candidato não foi selecionado (¬Q), pelo menos um jurado não se virou para ele." A conclusão "pelo menos um jurado não se virou" é mais fraca do que a conclusão necessária "nenhum jurado se virou" (¬P). Embora seja verdade que se nenhum se virou, então pelo menos um não se virou, a afirmação mais precisa e logicamente equivalente é a contrapositiva exata.
- B: "se o candidato não foi selecionado (¬Q), nenhum jurado se virou para ele (¬P)." Esta é exatamente a contrapositiva (¬Q → ¬P) da afirmação original. Como a contrapositiva é sempre logicamente equivalente à declaração original, esta afirmação é necessariamente verdadeira.
- C: "se pelo menos um dos jurados não se virar, o candidato não é selecionado." Isso pode ser escrito como "Se (¬Todos se viraram), então ¬Q". A condição "pelo menos um não se virar" (ou seja, nem todos se viraram) não é a negação de P (¬P). Esta afirmação é a inversa da declaração original (¬P → ¬Q), que não é logicamente equivalente. Por exemplo, se 3 jurados se virarem e 1 não, a condição "pelo menos um não se virou" é verdadeira, mas o candidato *é* selecionado (Q é verdadeiro), pois P ("pelo menos um se virou") é verdadeiro. Portanto, esta afirmação é falsa.
- D: "um jurado não se vira se, e somente se, o candidato não é selecionado." Esta é uma afirmação bicondicional (⇔) sobre um jurado individual. "Um jurado não se vira ⇔ ¬Q". A parte "Se um jurado não se vira, então ¬Q" é falsa (outros podem ter se virado). A parte "Se ¬Q, então um jurado não se vira" é verdadeira (pois se ¬Q, então nenhum se virou). Como uma das direções é falsa, a bicondicional é falsa.
- E: "o candidato é selecionado se, e somente se, todos os jurados se virarem." Esta é uma afirmação bicondicional: Q ⇔ "Todos os jurados se virarem". A parte "Se todos os jurados se virarem, então Q" é verdadeira (pois se todos se viraram, P é verdadeiro). A parte "Se Q, então todos os jurados se viraram" é falsa (o candidato pode ser selecionado se apenas um, dois ou três jurados se virarem). Como uma das direções é falsa, a bicondicional é falsa.
Portanto, a única afirmação necessariamente verdadeira é a opção B, que corresponde à contrapositiva da regra dada.
Dicas
Erros Comuns
Para resolver esta questão, é fundamental entender os conceitos de lógica proposicional, especialmente:
- Declaração Condicional (Implicação): Uma afirmação no formato "Se P, então Q" (simbolicamente P → Q). P é chamado de antecedente (ou hipótese) e Q é o consequente (ou conclusão). A afirmação só é falsa se P for verdadeiro e Q for falso.
- Contrapositiva: A contrapositiva de "Se P, então Q" é "Se não Q, então não P" (¬Q → ¬P). Uma declaração condicional e sua contrapositiva são logicamente equivalentes, ou seja, elas sempre têm o mesmo valor de verdade.
- Inversa: A inversa de "Se P, então Q" é "Se não P, então não Q" (¬P → ¬Q). Não é logicamente equivalente à original.
- Conversa (ou Recíproca): A conversa de "Se P, então Q" é "Se Q, então P" (Q → P). Não é logicamente equivalente à original.
- Negação de Quantificadores: A negação de "pelo menos um" (quantificador existencial \(\exists\)) é "nenhum" (negação do quantificador universal \(\forall\) aplicado à negação da propriedade). Especificamente, a negação de "pelo menos um jurado se virou" é "nenhum jurado se virou".
A questão se baseia na identificação da contrapositiva como a única inferência necessariamente verdadeira entre as opções apresentadas.
