UNESP 2018/2
Suponha uma pequeníssima esfera contendo 12 nêutrons, 11 prótons e 10 elétrons, ao redor da qual gira um elétron a 1,6 × 10–10 m de seu centro, no vácuo.
Considerando a carga elementar e = 1,6 × 10–19 C e a constante eletrostática do vácuo k0 = 9 × 109 N · m2 / C2, a intensidade da força elétrica entre a esfera e o elétron é
5,6 × 10–10 N.
9,0 × 10–9 N.
1,4 × 10–9 N.
1,4 × 10–12 N.
9,0 × 10–12 N.
Resolução
Passo a passo da solução:
-
Calcular a carga líquida da esfera (Q_esfera):
A esfera contém:
- 12 nêutrons: Carga = 12 × 0 = 0
- 11 prótons: Carga = 11 × (+e) = +11e
- 10 elétrons: Carga = 10 × (-e) = -10e
A carga líquida da esfera é a soma algébrica das cargas das partículas que a compõem:
\( Q_{esfera} = (carga\ dos\ nêutrons) + (carga\ dos\ prótons) + (carga\ dos\ elétrons) \)
\( Q_{esfera} = 0 + (+11e) + (-10e) = +1e \)
Como a carga elementar \( e = 1,6 \times 10^{-19} \) C, a carga da esfera é:
\( Q_{esfera} = +1 \times (1,6 \times 10^{-19} \text{ C}) = +1,6 \times 10^{-19} \text{ C} \)
-
Identificar a carga do elétron que gira ao redor (q_eletron):
A carga do elétron é, por definição, \( -e \).
\( q_{eletron} = -e = -1,6 \times 10^{-19} \text{ C} \).
-
Aplicar a Lei de Coulomb:
A Lei de Coulomb determina a intensidade da força elétrica \( F \) entre duas cargas pontuais \( q_1 \) e \( q_2 \) separadas por uma distância \( r \) no vácuo:
\[ F = k_0 \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2} \]
Neste problema, temos \( q_1 = Q_{esfera} = +e \) e \( q_2 = q_{eletron} = -e \). A distância fornecida é \( r = 1,6 \times 10^{-10} \text{ m} \) e a constante eletrostática do vácuo é \( k_0 = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \).
A questão pede a intensidade (módulo) da força, então usamos os valores absolutos das cargas:
\[ F = k_0 \frac{|(+e) \cdot (-e)|}{r^2} = k_0 \frac{|-e^2|}{r^2} = k_0 \frac{e^2}{r^2} \]
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Substituir os valores e calcular a força:
Substituindo os valores numéricos na fórmula:
\[ F = (9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{(1,6 \times 10^{-19} \text{ C})^2}{(1,6 \times 10^{-10} \text{ m})^2} \]
Expandindo os termos ao quadrado:
\[ F = (9 \times 10^9) \frac{(1,6)^2 \times (10^{-19})^2}{(1,6)^2 \times (10^{-10})^2} \]
\[ F = (9 \times 10^9) \frac{(1,6)^2 \times 10^{-38}}{(1,6)^2 \times 10^{-20}} \]
Observe que o termo \( (1,6)^2 \) aparece tanto no numerador quanto no denominador, podendo ser cancelado. Isso simplifica significativamente o cálculo:
\[ F = (9 \times 10^9) \frac{\cancel{(1,6)^2} \times 10^{-38}}{\cancel{(1,6)^2} \times 10^{-20}} \]
Agora, trabalhamos com as potências de dez:
\[ F = 9 \times 10^9 \times \frac{10^{-38}}{10^{-20}} \]
Lembrando que \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
\[ F = 9 \times 10^9 \times 10^{-38 - (-20)} \]
\[ F = 9 \times 10^9 \times 10^{-38 + 20} \]
\[ F = 9 \times 10^9 \times 10^{-18} \]
Lembrando que \( a^m \times a^n = a^{m+n} \):
\[ F = 9 \times 10^{9 + (-18)} \]
\[ F = 9 \times 10^{9 - 18} \]
\[ F = 9 \times 10^{-9} \text{ N} \]
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Conclusão:
A intensidade da força elétrica entre a esfera e o elétron é \( 9,0 \times 10^{-9} \text{ N} \). Este valor corresponde à alternativa B.
Dicas
Erros Comuns
Revisão de Conceitos
- Carga Elétrica: É uma propriedade intrínseca das partículas elementares. Os prótons possuem carga elétrica positiva (convencionada como \( +e \)), os elétrons possuem carga elétrica negativa (\( -e \)), e os nêutrons são eletricamente neutros (carga 0). A carga elementar \( e \) representa o módulo da carga do próton ou do elétron, e seu valor é aproximadamente \( 1,6 \times 10^{-19} \) Coulombs (C).
- Carga Líquida de um Corpo: Um corpo é composto por átomos, que contêm prótons, nêutrons e elétrons. A carga líquida (ou carga total) de um corpo é a soma algébrica das cargas de todos os prótons e elétrons que ele contém. Se o número de prótons for igual ao número de elétrons, o corpo é neutro. Se houver excesso de prótons, a carga líquida é positiva. Se houver excesso de elétrons, a carga líquida é negativa.
- Lei de Coulomb: Esta lei fundamental da eletrostática quantifica a força de interação (atração ou repulsão) entre duas cargas elétricas pontuais (ou corpos esféricos uniformemente carregados, a distâncias muito maiores que seus raios). A intensidade \( F \) dessa força é diretamente proporcional ao produto dos módulos das cargas (\( |q_1| \) e \( |q_2| \)) e inversamente proporcional ao quadrado da distância (\( r \)) entre elas: \( F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \). A constante de proporcionalidade \( k \) depende do meio onde as cargas estão imersas; no vácuo, é representada por \( k_0 \) e vale aproximadamente \( 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \).
- Notação Científica: Forma padronizada de escrever números muito grandes ou muito pequenos, utilizando potências de base 10 (ex: \( 1,6 \times 10^{-19} \)). É crucial dominar as operações (multiplicação, divisão, potenciação) com números em notação científica para resolver problemas de física envolvendo grandezas como cargas elétricas e distâncias atômicas.
