PUC-SP Verão 2016
. Caso essa previsão se confirme, então, relativamente ao total arrecadado a cada ano considerado, é correto afirmar que:Resolução
Sejam os anos considerados dados por \(x\in\{0,1,2,\dots ,10\}\), de modo que o ano civil é \(2015+x\).
A função que modela a arrecadação é
\[f(x)=250+12\cos \left(\frac{\pi}{3}\,x\right)\]
1 Análise da função
Para uma função do tipo \(a+b\cos(kx)\):
- valor máximo é \(b+a\) (quando \(\cos(kx)=1\));
- valor mínimo é \(-b+a\) (quando \(\cos(kx)=-1\)).
No nosso caso, \(a=250\) e \(b=12\). Assim:
\[f_{\max}=250+12=262\text{ milhões de dólares}\]
\[f_{\min}=250-12=238\text{ milhões de dólares}\]
2 Valores de \(x\) que produzem extremos
Precisamos dos \(x\in\{0,1,\dots ,10\}\) que tornam o cosseno 1 ou -1.
\( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)=1\iff\dfrac{\pi}{3}x=2\pi k\iff x=6k.\)
No intervalo, isso acontece para \(x=0\) e \(x=6\) (anos 2015 e 2021).
\( \cos\left(\dfrac{\pi}{3}x\right)=-1\iff\dfrac{\pi}{3}x=\pi+2\pi k\iff x=3+6k.\)
No intervalo, acontece para \(x=3\) e \(x=9\) (anos 2018 e 2024).
3 Verificação das alternativas
A "o valor máximo ocorrerá apenas em 2021" – Falsa. Ocorre em 2015 (x=0) e 2021 (x=6).
B "atingirá o valor mínimo somente em duas ocasiões" – Verdadeira. Minímos em x=3 e x=9.
C "poderá superar 300 milhões de dólares" – Falsa. Máximo é 262.
D "nunca será inferior a 250 milhões de dólares" – Falsa. Valor mínimo é 238.
Portanto, a alternativa correta é B.
Dicas
Erros Comuns
Conceitos principais
- Função trigonométrica: \(f(x)=a+b\cos(kx)\) oscila entre \(a+b\) (máximo) e \(a-b\) (mínimo).
- Amplitude: é \(|b|\). Aqui, 12.
- Período: para \(\cos(kx)\) é \(\dfrac{2\pi}{k}\). Aqui, \(k=\pi/3\Rightarrow T=6\).
- Extremos: cos(θ)=1 para θ múltiplo de 2π; cos(θ)=−1 para θ=π+2πk.
