Secretaria de Estado de Justiça e Segurança Pública - SEJUSP - MG 2022
Sobre uma reta, a partir de um ponto inicial, uma pessoa faz a seguinte sequência de movimentos: 1 passo para frente, 2 para trás, 3 para frente, 4 para trás, e assim por diante. O último movimento dessa pessoa foi de 29 passos para frente.
A distância em passos que essa pessoa está do ponto inicial é
17.
14.
16.
13.
15.
Resolução
Num eixo orientado, associe o ponto inicial à posição 0. Os passos “para frente” somam positivamente e os “para trás” subtraem.
A sequência de movimentos é:
- +1
- –2
- +3
- –4
- +5
- …
- +29 (último passo)
Portanto, os números ímpares (1,3,5,…,29) entram com sinal “+”, e os pares (2,4,6,…,28) com sinal “–”.
A distância procurada é o valor absoluto da soma
\[S = \bigl(1 + 3 + 5 + \dots + 29\bigr) - \bigl(2 + 4 + 6 + \dots + 28\bigr).\]
16 Passo – soma dos nB5meros dmpares
Há 15 ímpares de 1 a 29 (pois \((29+1)/2 = 15\)). A soma dos primeiros \(n\) ímpares é \(n^2\):
\[\sum_{k=1}^{15}(2k-1)=15^2=225.\]
26 Passo – soma dos nB5meros pares
Há 14 pares de 2 a 28. A soma equivale ao dobro da soma de 1 a 14:
\[\sum_{k=1}^{14}2k = 2\cdot\frac{14\cdot15}{2}=14\cdot15=210.\]
36 Passo – deslocamento total
\[S = 225 - 210 = 15.\]
O resultado é positivo (a pessoa está 15 passos à frente do ponto inicial), logo a distância ao ponto de partida é 15.
Resposta: alternativa E.
Dicas
Erros Comuns
- Soma de números ímpares consecutivos: a soma dos \(n\) primeiros ímpares vale \(n^2\).
- Soma de progressão aritmética: para 1 + 2 + ... + n usamos \(\frac{n(n+1)}{2}\); para pares basta multiplicar por 2.
- Interpretação de sinais: passos “para frente” adicionam, “para trás” subtraem.
- Distância em reta: é o valor absoluto do deslocamento final.
