UNICENTRO 2010/1
Sobre uma lâmina de faces paralelas incide no ponto I um raio de luz, sob o ângulo de incidência i = 45º. O índice de refração da lâmina é \(n=\sqrt{2}\). O raio emergente sai da lâmina num ponto J situado à distância d = 10 cm do ponto I’ no qual o prolongamento do raio incidente atravessa a segunda face da lâmina.
Nestas condições a espessura e da lâmina vale
10 cm.
\(18\sqrt{3}cm.\)
\(20\frac{\sqrt{3}}{3}cm.\)
\(50\frac{\sqrt{3}}{3}cm.\)
\(5.\left(3+\sqrt{3}\right)cm.\)
Resolução
1. Ângulo de refração dentro da lâmina
Pelo princípio de Snell-Descartes, considerando o ar com índice 1:
\[ \sin i = n\, \sin r \]
Com \(i = 45^{\circ}\) e \(n = \sqrt{2}\):
\[ \sin 45^{\circ} = \sqrt{2}\,\sin r \;\;\Rightarrow\;\; \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\,\sin r \;\;\Rightarrow\;\; \sin r = \frac{1}{2}\]
Logo \(r = 30^{\circ}\).
2. Deslocamento lateral (δ)
Para uma lâmina de faces paralelas a distância entre o ponto onde o raio saíria se não houvesse refração (I′) e o ponto real de saída (J) é
\[ \delta = e\,(\tan i - \tan r) \]
onde \(e\) é a espessura da lâmina.
3. Substituindo valores
\[ 10\text{ cm}=e\Bigl(\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}\Bigr)=e\Bigl(1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) \]
Isolando \(e\):
\[ e=\frac{10}{1-\tfrac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \]
Racionalizando o denominador:
\[ e=\frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{10\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2}=5\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=5(3+\sqrt{3})\,\text{cm}. \]
Resposta: \(e = 5\,(3+\sqrt{3})\,\text{cm}\).
Dicas
Erros Comuns
Lei de Snell-Descartes – Relaciona ângulos de incidência e refração em meios com índices de refração \(n_1\) e \(n_2\): \(n_1\sin i=n_2\sin r\).
Lâmina de faces paralelas – O raio emerge paralelo ao incidente, sofrendo apenas um deslocamento lateral.
Deslocamento lateral – Dado por \(\delta=e(\tan i-\tan r)\) ou \(\delta=\dfrac{e\,\sin(i-r)}{\cos r}\).
