ENEM 2019

Slackline é um esporte no qual o atleta deve se equilibrar e executar manobras estando sobre uma fita esticada. Para a prática do esporte, as duas extremidades da fita são fixadas de forma que ela fique a alguns centímetros do solo. Quando uma atleta de massa igual a 80 kg está exatamente no meio da fita, essa se desloca verticalmente, formando um ângulo de 10º com a horizontal, como esquematizado na figura. Sabe-se que a aceleração da gravidade é igual a 10 m s^–2, cos (10º) = 0,98 e sen(10º) = 0,17.

Qual é a força que a fita exerce em cada uma das árvores por causa da presença da atleta?

4, 0 \times 10^{2} N

4, 1 \times 10^{2} N

8, 0 \times 10^{2} N

2, 4 \times 10^{3} N

4, 7 \times 10^{3} N

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Resposta

Tempo médio

2 min

Resolução

Análise da Situação:

Uma atleta de massa $m = 80$ kg está em equilíbrio exatamente no meio de uma fita de slackline. A fita forma um ângulo de $θ = 10^{\circ}$ com a horizontal em ambos os lados devido ao peso da atleta. A aceleração da gravidade é $g = 10$ m/s². Queremos encontrar a força de tensão $T$ que a fita exerce em cada árvore.

Diagrama de Corpo Livre:

Consideramos o ponto da fita onde a atleta está. As forças que atuam nesse ponto são:

Peso da atleta ( $P$ ), verticalmente para baixo.
Força de tensão ( $T$ ) da parte esquerda da fita, inclinada para cima e para a esquerda, formando um ângulo $θ = 10^{\circ}$ com a horizontal.
Força de tensão ( $T$ ) da parte direita da fita, inclinada para cima e para a direita, formando um ângulo $θ = 10^{\circ}$ com a horizontal.

Como a atleta está no meio, a magnitude da tensão $T$ é a mesma em ambos os lados da fita.

Condição de Equilíbrio:

Como a atleta está em equilíbrio, a soma vetorial das forças que atuam sobre ela (ou no ponto de contato com a fita) é nula. Analisamos as componentes verticais das forças:

A força peso é calculada por: $P = m \times g$

$P = 80 kg \times 10 {m/s}^{2} = 800 N$

Cada força de tensão $T$ pode ser decomposta em uma componente horizontal ( $T_{x} = T \cos θ$ ) e uma componente vertical ( $T_{y} = T \sin θ$ ).

As componentes horizontais se cancelam mutuamente devido à simetria ( $T \cos 10^{\circ}$ para a esquerda e $T \cos 10^{\circ}$ para a direita).

A soma das componentes verticais das tensões deve equilibrar o peso da atleta:

$\sum F_{y} = 0$

$T_{y} (esquerda) + T_{y} (direita) - P = 0$

$T \sin θ + T \sin θ = P$

$2 T \sin θ = P$

Cálculo da Tensão (T):

Agora, podemos isolar $T$ e substituir os valores conhecidos:

$T = \frac{P}{2 \sin θ}$

Dados: $P = 800$ N e $\sin (10^{\circ}) = 0, 17$ .

$T = \frac{800}{2 \times 0, 17}$

$T = \frac{800}{0, 34}$

Para realizar a divisão, podemos multiplicar numerador e denominador por 100:

$T = \frac{80000}{34}$

Realizando a divisão:

$T \approx 2352, 94 N$

Resultado em Notação Científica:

Convertendo para notação científica e arredondando de acordo com as opções:

$T \approx 2, 35 \times 10^{3} N$

O valor mais próximo nas alternativas é $2, 4 \times 10^{3} N$ .

A força que a fita exerce em cada árvore é a força de tensão $T$ .

Conclusão:

A força que a fita exerce em cada uma das árvores é aproximadamente $2, 4 \times 10^{3} N$ .

Dicas

Desenhe as forças que atuam no ponto central da fita: o peso da atleta para baixo e as duas tensões da fita inclinadas para cima.

Lembre-se que a atleta está parada (em equilíbrio), então a força resultante sobre ela é zero. Foque no equilíbrio das forças verticais.

Decomponha cada força de tensão

T

em uma componente vertical (usando seno do ângulo com a horizontal) e some as componentes verticais das duas tensões para igualar ao peso.

Erros Comuns

Esquecer que há duas componentes verticais da tensão (uma de cada lado da fita) que sustentam o peso, levando à equação incorreta

T \sin θ = P

em vez de

2 T \sin θ = P

. Isso levaria a um resultado aproximadamente duas vezes maior (perto da opção E).

Usar a função cosseno em vez da seno para calcular a componente vertical da tensão (

T \cos θ

em vez de

T \sin θ

Considerar que a tensão

T

é simplesmente igual à metade do peso (

P / 2 = 400

N), ignorando o ângulo da fita (levando à opção A).

Considerar que a tensão

T

é igual ao peso

P

(levando à opção C).

Erros de cálculo na divisão

800 / 0, 34

Confundir a força de tensão

T

com sua componente vertical

T_{y}

Revisão

Revisão de Conceitos

Primeira Lei de Newton (Equilíbrio): Um corpo está em equilíbrio quando a força resultante sobre ele é nula. Isso significa que a soma vetorial de todas as forças atuando no corpo é zero ( $\sum \vec{F} = 0$ ). Para problemas em 2D, isso implica que a soma das componentes das forças em x e y devem ser ambas zero ( $\sum F_{x} = 0$ e $\sum F_{y} = 0$ ).
Força Peso (P): É a força com que a gravidade atrai um corpo de massa $m$ . Sua direção é sempre vertical para baixo e seu módulo é calculado por $P = m \times g$ , onde $g$ é a aceleração da gravidade.
Força de Tensão (T): É a força transmitida através de uma corda, fio, cabo ou fita quando puxada por forças aplicadas em suas extremidades. A tensão atua ao longo do comprimento da fita e puxa os objetos aos quais está conectada.
Decomposição de Forças: Uma força inclinada (vetor) pode ser representada por suas componentes perpendiculares (geralmente horizontal e vertical). Se uma força $F$ faz um ângulo $θ$ com a horizontal, suas componentes são $F_{x} = F \cos θ$ (componente horizontal) e $F_{y} = F \sin θ$ (componente vertical).
Trigonometria Básica: As funções seno ( $\sin$ ) e cosseno ( $\cos$ ) são usadas para encontrar as componentes de um vetor. Em um triângulo retângulo, o seno de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa, e o cosseno é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa.

18%

Taxa de acerto

4.8

Média de pontos TRI

Habilidade

Relacionar informações apresentadas em diferentes formas de linguagem e representação usadas nas ciências físicas, químicas ou biológicas, como texto discursivo, gráficos, tabelas, relações matemáticas ou linguagem simbólica.

Porcentagem de alternativa escolhida por nota TRI

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