UEFS Caderno 2 2010/1
Sendo 
, considere o número complexo w com módulo igual ao de z e argumento principal medindo o dobro do argumento principal de z.
Nessas condições, w pode ser representado algebricamente por
\(\frac{\sqrt{5}}{5}\left(3-4i\right)\)
\(\frac{1}{5}\left(-3+4i\right)\)
3 + 4i
√5(−4 + 2i)
5(4 − 2i)
Resolução
Seja \(z=\dfrac{5i}{1-2i}\). Precisamos obter \(w\) com
- mesmo módulo de \(z\);
- argumento principal igual ao dobro do argumento principal de \(z\).
1. Converter \(z\) para a forma algébrica
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de \(1-2i\):
\[z=\frac{5i}{1-2i}\cdot\frac{1+2i}{1+2i}=\frac{5i(1+2i)}{1+4}=\frac{5i(1+2i)}{5}=i(1+2i)=i+2i^{2}=-2+i.\]
2. Módulo de \(z\)
\[|z|=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt5.\]
3. Argumento principal de \(z\)
\(z=-2+i\) está no 2º quadrante. Seja \(\alpha=\arctan\left(\dfrac{|1|}{2}\right)=\arctan\dfrac12\). Logo
\[\theta_\text{prin}=\pi-\alpha.\]
4. Dobrar o argumento
\[2\theta_\text{prin}=2(\pi-\alpha)=2\pi-2\alpha.\]
Como o argumento principal deve pertencer a \((-\pi,\pi]\), subtrai-se \(2\pi\):
\[\arg(w)=-2\alpha.\]
5. Cosseno e seno de \(-2\alpha\)
Para \(\tan\alpha=\dfrac12\), constrói-se um triângulo: \(\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt5}\) e \(\cos\alpha=\dfrac2{\sqrt5}\).
Então
\[\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac1{\sqrt5}\cdot\frac2{\sqrt5}=\frac45,\qquad \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac35.\]
Portanto
\[\cos(-2\alpha)=\frac35,\qquad \sin(-2\alpha)=-\frac45.\]
6. Forma algébrica de \(w\)
\[w=|z|\bigl(\cos(-2\alpha)+i\sin(-2\alpha)\bigr)=\sqrt5\Bigl(\frac35-i\,\frac45\Bigr)=\frac{\sqrt5}{5}(3-4i).\]
Logo, \(w=\dfrac{\sqrt5}{5}(3-4i)\).
Alternativa correta: A.
Dicas
Erros Comuns
- Forma algébrica: \(z=a+bi\).
- Módulo: \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\).
- Argumento principal: Ângulo \(\theta\in(-\pi,\pi]\) tal que \(\cos\theta=\dfrac{a}{|z|},\;\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}.\)
- Forma trigonométrica: \(z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)\).
- Produto de complexos: multiplica módulos e soma argumentos. Assim, para dobrar o argumento basta elevar à 2ª potência ou, como no exercício, duplicá-lo diretamente.
