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UDESC Manhã 2009/1
Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência ( x, 1, y, 1/4, z ) forma, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x + y + z é:
a
b
c
d
2
e
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Resposta
C
Resolução
Se a sequência \( (x,\;1,\;y,\;\tfrac14,\;z) \) é uma progressão aritmética (P.A.), então todos os termos são separados pela mesma razão \(r\).
Assim, para termos consecutivos:
- \(1-x=r\)
- \(y-1=r\)
- \(\tfrac14-y=r\)
- \(z-\tfrac14=r\)
1. Encontrar \(y\)
Igualando as duas expressões centrais para \(r\):
\[y-1 = \tfrac14 - y\]
\[2y = 1 + \tfrac14 = \tfrac54\quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{5}{8}.\]
2. Encontrar \(r\)
\[r = y - 1 = \tfrac{5}{8} - 1 = -\tfrac38.\]
3. Encontrar \(x\)
Pela primeira relação:
\[1 - x = -\tfrac38 \;\Longrightarrow\; -x = -\tfrac38 - 1 = -\tfrac{11}{8}\;\Longrightarrow\; x = \tfrac{11}{8}.\]
4. Encontrar \(z\)
Usando \(z-\tfrac14=r\):
\[z = \tfrac14 + r = \tfrac14 - \tfrac38 = -\tfrac18.\]
5. Calcular \(x+y+z\)
\[x+y+z = \tfrac{11}{8} + \tfrac{5}{8} - \tfrac18 = \tfrac{15}{8}.\]
Portanto, a soma procurada é \(\boxed{\tfrac{15}{8}}\).
Dicas
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Escreva que a razão \(r\) é a mesma entre quaisquer dois termos consecutivos.
Iguale duas expressões para \(r\) que envolvam somente \(y\): isso dá uma equação simples.
Depois de achar \(r\), substitua-o para obter \(x\) e \(z\).
Erros Comuns
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Esquecer que todas as diferenças devem ser iguais e usar apenas duas delas.
Trocar o sinal da razão ao passar termos para o outro lado da igualdade.
Somar frações com denominadores diferentes sem colocar em denominador comum.
Confundir a razão da P.A. com a soma pedida.
Revisão
- Progressão aritmética (P.A.): sequência em que cada termo difere do anterior por uma constante \(r\) (razão).
- Se temos 5 termos \(a_1,\dots,a_5\) em P.A., então:
\(a_2-a_1 = a_3-a_2 = a_4-a_3 = a_5-a_4 = r\). - Igualando essas diferenças formamos equações que permitem encontrar os termos desconhecidos.
- Frações: lembre-se de somar/subtrair com denominador comum para evitar erros.
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