ITA 1999
Resolução
Para avaliar cada afirmação, basta analisar as propriedades das funções exponenciais.
1. Interseção dos gráficos (afirmação I)
Precisamos verificar se existe x tal que
\[(\tfrac{3}{2})^{x}=\left(\tfrac13\right)^{x}.\]
Como as bases são positivas e diferentes de 1, basta comparar os expoentes após aplicar logaritmo natural (ou observar que quando a igualdade acontece, obrigatoriamente os expoentes se anulam):
- Se \(x=0\), temos \((\tfrac32)^{0}=1\) e \((\tfrac13)^{0}=1\). Logo, há interseção em \((0,1)\).
- Para \(x\neq0\), dividiríamos por \(x\) e precisaríamos de \(\ln\tfrac32 = \ln\tfrac13\), o que é impossível (um é positivo, o outro negativo).
Portanto, os gráficos se interceptam em \(x=0\). A afirmação I é falsa.
2. Crescimento das funções (afirmação II)
- \(f(x)=(\tfrac32)^{x}\): base >1 ⟹ função crescente.
- \(g(x)=(\tfrac13)^{x}=3^{-x}\): base entre 0 e 1 ⟹ função decrescente.
Logo, somente \(f\) é crescente. A afirmação II é falsa.
3. Igualdade numérica (afirmação III)
Calculemos:
Agora:
\[f(-2)\,g(-1)=\tfrac49\cdot3=\tfrac43,\qquad f(-1)\,g(-2)=\tfrac23\cdot9=6.\]
Como \(\tfrac43\neq6\), a igualdade proposta não vale. Afirmação III é falsa.
Conclusão
As três afirmações são falsas. A alternativa correta é:
E) Todas as afirmações são falsas.
Dicas
Erros Comuns
- Função exponencial: \(y=a^{x}\) com \(a>0, \;a\neq1\).
- Monotonicidade:
• Se \(a>1\) ⇒ função crescente.
• Se \(0<a<1\) ⇒ função decrescente. - Interseção de exponenciais: resolver \(a^{x}=b^{x}\). Se \(a\neq b\), a única solução real é \(x=0\).
- Potências negativas: \(a^{-n}=\dfrac1{a^{n}}\).
